Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho bốn điểm $A(1;0;0)$, $B(0;1;0)$, $C(0;0;1)$, $D(-2;1;-1)$. Biết $\cos (AB;CD)=\frac{1}{\sqrt{a}}$. Tính $P=2a$

Trong không gian $Oxyz$, cho một lăng kính có dạng hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có đỉnh $S(0;0;6)$, đáy $ABCD$ nằm trên mặt phẳng $(Oxy)$ với tâm $O$ trùng gốc tọa độ, điểm $A(-3;-3;0)$ và $B(3;-3;0)$ (tham khảo hình vẽ). Một nguồn sáng đơn sắc chiếu thẳng từ điểm $L(0;-7;1)$ đến trọng tâm $M$ của tam giác $SAB$. Khi chạm vào mặt phẳng, tia sáng bị khúc xạ thành tia $MN$ hướng về phía đáy với $N$ thuộc miền trong tam giác $SCD$. Biết rằng $\widehat{LMN}=150°$, $N\in (SLM)$ và $N(a;b;c)$, tính $a+b+c$ (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Trong không gian $Oxyz$, cho hình lập phương $ABCD.EFGH$ có cạnh $a$ (như hình vẽ). Góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{BC}$ và $\overrightarrow{DG}$ là:

Cho tứ diện đều $ABCD$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $BC$. Gọi $\phi$ là góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{MN}$ và $\overrightarrow{CD}$. Số đo của góc $\phi$ bằng bao nhiêu độ?

Cho tứ diện đều ABCD có độ dài cạnh bằng a, gọi M là trung điểm cạnh CD. Tích vô hướng $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AM}$ bằng

Cho hình lập phương $ABCD.A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ có cạnh a. Gọi M là trung điểm AD. Giá trị $\overrightarrow{B_{1}M}\cdot \overrightarrow{B{D}_1}$ là:

Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có cạnh bằng a. Trên các cạnh CD và BB' ta lần lượt lấy các điểm M và N sao cho $DM=BN=x$ với $0\le x\le a$.
(I) $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}=\overrightarrow{A{A}^{\prime }}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$
(II) Gọi $K$ là trung điểm AD khi đó $\overrightarrow{C^{\prime }K}=\overrightarrow{C^{\prime }C}+\overrightarrow{C^{\prime }{D}^{\prime }}+\frac{1}{2}\overrightarrow{C^{\prime }{B}^{\prime }}$.
(III) $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{B^{\prime }{D}^{\prime }}=a^2$.
(IV) Góc giữa vecto $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{MN}$ bằng $60^0$.
Trong các mệnh đề trên, số các phát biểu đúng là: