Cho hình lập phương $ABCD.A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ có cạnh a. Gọi M là trung điểm AD. Giá trị $\overrightarrow{B_{1}M}\cdot \overrightarrow{B{D}_1}$ là:

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho ba điểm $A(1;2;3)$, $B(1;3;2)$, $C(3;1;2)$. Gọi $M$ là điểm thỏa mãn $\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MB}\cdot \overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MC}\cdot \overrightarrow{MA}=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $O{M}^2$ (làm tròn đến hàng phần trăm)

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho các điểm $A(2;0;2)$, $B(0;2;0)$, $C(1;0;3)$. Gọi $M$ là điểm thỏa mãn $M{A}^2+M{C}^2=M{B}^2$. Tính $MP$ với $P(3;-2;5)$.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, mặt phẳng $(Oxy)$ trùng với mặt đất, tia $Ox$ hướng về phía nam, tia $Oy$ hướng về phía đông, tia $Oz$ hướng thẳng đứng lên trời, mỗi đơn vị trên trục tọa độ tương ứng 1 mét. Một chiếc Flycam xuất phát từ gốc tọa độ, bay theo đường thẳng với mỗi giây bay nó cách điểm xuất phát 6 mét về phía nam, 4 mét về phía đông đồng thời tăng độ cao thêm 1 mét so với mặt đất. Sau $t$ giây kể từ lúc xuất phát, chiếc Flycam bay tới vị trí điểm $M\left(a;b;c\right)$ để quan sát hai vật thể nằm ở hai vị trí $A\left(40;203;8\right)$ và $B\left(160;22;12\right)$ trong không gian. Khi góc quan sát tạo bởi hai tia $MA$ và $MB$ là lớn nhất thì giá trị $a+b+c+t$ bằng bao nhiêu?

Cho tứ diện đều $S.ABC$ có tất cả các cạnh bằng $a$, $M$ là trung điểm của cạnh $BC$.

Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA=SB=SC$ và $ASB=BSC=CSA$. Hãy xác định góc giữa cặp vectơ $\overrightarrow{SC}$ và $\overrightarrow{AB}$ ?

Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(0;2;1)$ và $B(3;-2;1)$. Độ dài đoạn thẳng $AB$ bằng