Cho hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Xét tính đúng/sai của các mệnh đề sau:
(I) Hai vecto $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{C^{\prime }{D}^{\prime }}$ bằng nhau
(II) Hai vecto $\overrightarrow{A^{\prime }D}$ và $\overrightarrow{C{B}^{\prime }}$ đối nhau
(III) Hai vecto $\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}$ và $\overrightarrow{AC}$ cùng phương với nhau
(IV) Có 3 vecto khác vecto $\vec{0}$ bằng vecto $\overrightarrow{BC}$
Trong các mệnh đề trên, số các phát biểu đúng là:

Cho hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có tất cả các cạnh bằng 1 và $\widehat{BAD}=\widehat{DA{A}^{\prime }}=\widehat{A^{\prime }AB}=60^{\circ }$. Cho hai $M,N$ thoả mãn điều kiện $\overrightarrow{C^{\prime }B}=\overrightarrow{BM}$, $\overrightarrow{DN}=2\overrightarrow{D{D}^{\prime }}$. Độ dài đoạn thẳng $MN$ là

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho $\vec{a}=(2;0;1)$ và hai điểm $A(-3;8;4)$, $B(5;5;6)$. Hai điểm $M,N$ thuộc mặt phẳng $(Oxy)$ sao cho $\overrightarrow{MN}$ cùng hướng $\vec{a}$ và $MN=5\sqrt{5}$.

Trong phòng hình hộp chữ nhật, sàn nhà là hình vuông chiều cao của phòng là $3,2m$ có hai con nhện đang chằng to trong căn phòng, hai con nhện luôn di chuyển trên hai đường thẳng khác nhau. Giả sử căn phòng được mô hình hóa là hình hộp chữ nhật $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ với $ABCD$ là nền phòng. Con nhện thứ nhất được coi như là điểm $E$ di chuyển trên đường dây to nối từ đỉnh $A$ đến trung điểm $M$ của $C{C}^{\prime }$. Con nhện thứ hai được coi như là điểm $F$ di chuyển trên đường dây to nối từ đỉnh $D^{\prime }$ đến tâm $I$ của mặt $AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }$ (tham khảo hình vẽ).



Khoảng cách giữa hai con nhện khi đường thẳng đi qua hai con nhện vuông góc với trần nhà bằng bao nhiêu mét?

Cho tứ diện $ABCD$ có $M$ là một điểm thuộc mặt phẳng $(BCD)$ thỏa mãn $\overrightarrow{AM}=x.\overrightarrow{AB}+y.\overrightarrow{AC}+z.\overrightarrow{AD}$ $(x,y,z\in \mathbb{R})$. Giá trị của $x+y+z$ bằng

Trong không gian $Oxyz$, cho hai vecto $\vec{u}=(-1;5;0)$ và $\vec{v}=(1;-5;-3)$, tọa độ của vecto $\vec{u}+\vec{v}$ là

Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A(3;0;0),B(0;4;0),C(0;0;5)$. Vecto có tọa độ nào sau đây là cặp vecto chỉ phương của mặt phẳng $\left(ABC\right)$ ?