Một căn gác có chiếc cửa sổ trôi như hình vẽ. Tính góc (theo đơn vị độ, làm tròn đến hàng phần mười) giữa mặt nghiêng của chiếc cửa sổ với mặt sàn. Biết rằng khi mặt trời chiếu vuông góc với mặt sàn thì hình chiếu của chiếc cửa sổ là một hình vuông có cạnh 1,5 m và chiều cao so với mặt sàn của các điểm $A,B,C$ lần lượt là 1,2 m, 1,3 m và 2,4 m (xem hình vẽ minh họa).

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho các điểm $A(0;7;2)$; $B(0;0;10,8)$. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của độ dài đoạn thẳng $MN$, biết $M$ là điểm thuộc mặt phẳng $Oxy$ thỏa mãn $AM=2,5$ và $N$ thuộc mặt phẳng $(\alpha ):z-12=0$ thỏa mãn $BN=1,3$.

Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ tâm $O$ cạnh có độ dài bằng 1. Gọi $M,P$ là hai điểm lần lượt nằm trên các cạnh $A{A}^{\prime },C{C}^{\prime }$ sao cho $AM=\frac{3}{4}A{A}^{\prime }$, $CP=\frac{1}{4}C{C}^{\prime }$. Mặt phẳng $(\alpha )$ thay đổi đi qua $M,P$ đồng thời cắt hai cạnh $B{B}^{\prime },D{D}^{\prime }$ lần lượt tại $N$ và $Q$. Tìm giá trị nhỏ nhất của chu vi tứ giác $MNPQ$.

Một con chim thông minh đang đứng trên một cây cao tại điểm B(7;10;6). Trong không gian Oxyz mỗi đơn vị trên trục ứng với 1 mét và mặt đất ( xem như phẳng) là mặt phẳng (Oxy). Con chim thông minh biết bay thẳng xuống mặt đất tại N và chạy lấy thức ăn tại điểm M cách N 4m sau đó bay thẳng đến điểm A(1;2;3) trên một cây cao về cho chim con với tổng các khoảng cách $BN+AM$ nhỏ nhất. Tính tổng các tung độ của M và N.

Một con chim thông minh đang đứng trên một cây cao tại điểm B(7;10;6). Trong không gian Oxyz mỗi đơn vị trên trục ứng với 1 mét và mặt đất (xem như phẳng) là mặt phẳng (Oxy). Con chim thông minh biết bay thẳng xuống mặt đất tại N và chạy lấy thức ăn tại điểm M cách N 4m sau đó bay thẳng đến điểm A(1;2;3) trên một cây cao về cho chim con với tổng các khoảng cách $BN+AM$ nhỏ nhất. Tính tổng các tung độ của M và N.

Hai chiếc khinh khí cầu bay lên từ cùng một địa điểm trên mặt đất. Sau một khoảng thời gian, chiếc thứ nhất nằm cách điểm xuất phát 2 km về phía Nam và 3 km về phía Đông, đồng thời cách mặt đất 0,5 km, chiếc thứ hai nằm cách điểm xuất phát 1 km về phía Bắc và 1 km về phía Tây, đồng thời cách mặt đất 0,3 km. Cùng thời điểm đó, một người đứng trên mặt đất và nhìn thấy hai khinh khí cầu nói trên. Biết rằng, so với các vị trí quan sát khác trên mặt đất, vị trí người đó đứng có tổng khoảng cách đến hai khinh khí cầu là nhỏ nhất. Giả sử mặt đất là một mặt phẳng, hỏi tổng khoảng cách nhỏ nhất ấy bằng bao nhiêu kilômét (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

Trong không gian $Oxyz$, cho các điểm $A(2;0;0),B(0;3;0)$. Gọi $C$ là điểm sao cho tứ diện $OABC$ có thể tích bằng 4 và $CA=CB=CO$. Tính độ dài đoạn thẳng $OC$ (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).