Một ngôi nhà gồm hai phần mái dốc số 1 và số 2 (tham khảo hình vẽ bên dưới), Biết rằng số đo của các cạnh $AB=3m$, $BO=2m$, $OC=4m$, $CD=3m$ và độ dốc của mái số 1 bằng $45^{\circ }$, độ dốc mái số 2 bằng $30^{\circ }$. Giả sử các mặt bên của tòa nhà vuông góc với nhau, khi đó góc (tính theo đơn vị độ, làm tròn đến hàng phần mười) giữa hai mặt phẳng $(ABO)$ và $(CDO)$ bằng

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $O$ làm gốc, cạnh mái $OB$ nằm trên trục $Ox$: $B=(2;0;0)$, cạnh mái $OC$ nằm trên trục $Oy$: $C=(0;4;0)$ (hai mặt bên vuông góc nên $OB\perp OC$). Mái số 1 chứa đường $Ox$ và dốc $45^{\circ }$ theo phương $Oy$: mặt phẳng $(ABO)$ có phương trình $z=y$, VTPT $\overrightarrow{n_1}=(0;-1;1)$. Mái số 2 chứa đường $Oy$ và dốc $30^{\circ }$ theo phương $Ox$: mặt phẳng $(CDO)$ có phương trình $z=x\tan 30^{\circ }=\frac{x}{\sqrt{3}}$, VTPT $\overrightarrow{n_2}=\left(1;0;-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$. Khi đó $$\cos \theta =\frac{|\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}|}{|\overrightarrow{n_1}||\overrightarrow{n_2}|}=\frac{1/\sqrt{3}}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{4/3}}=\frac{1}{2\sqrt{2}}\approx 0,3536.$$ Vậy $\theta =\arccos \frac{1}{2\sqrt{2}}\approx 69,295^{\circ }\approx 69,3^{\circ }$. (Các độ dài $AB=3,CD=3$ chỉ xác định vị trí $A,D$ trên mái, không ảnh hưởng góc giữa hai mặt phẳng.)