Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho ba mặt phẳng $(P):x-2y+2z+1=0$, $(Q):x-2y+2z-8=0$, $(R):x-2y+2z+4=0$. Một đường thẳng $\Delta$ thay đổi cắt ba mặt phẳng $(P),(Q),(R)$ lần lượt tại các điểm $A,B,C$. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $AB+\frac{144}{A{C}^2}$ bằng

Chọn đáp án C
Ba mặt phẳng $(P),(Q),(R)$ đôi một song song vì có cùng vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(1;-2;2)$.
Khoảng cách giữa $(P)$ và $(Q)$ là $d_1=\frac{|1-(-8)|}{\sqrt{1+4+4}}=\frac{9}{3}=3$.
Khoảng cách giữa $(P)$ và $(R)$ là $d_2=\frac{|1-4|}{3}=\frac{3}{3}=1$.
Gọi $\alpha$ là góc giữa đường thẳng $\Delta$ và pháp tuyến của ba mặt phẳng ($0^{\circ }\le \alpha <90^{\circ }$).
Khi đó $AB=\frac{d_1}{\cos \alpha }=\frac{3}{\cos \alpha }$, $AC=\frac{d_2}{\cos \alpha }=\frac{1}{\cos \alpha }$.
Đặt $t=\frac{1}{\cos \alpha }\ge 1$.
Biểu thức trở thành: $f(t)=3t+\frac{144}{t^2}=\frac{3t}{2}+\frac{3t}{2}+\frac{144}{t^2}$.
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số dương:
$f(t)\ge 3\sqrt[3]{\frac{3t}{2}\cdot \frac{3t}{2}\cdot \frac{144}{t^2}}=3\sqrt[3]{\frac{9\cdot 144}{4}}=3\sqrt[3]{324}=27$.
Dấu bằng xảy ra khi $\frac{3t}{2}=\frac{144}{t^2}\iff t^3=96\iff t=2\sqrt[3]{12}>1$ (thỏa mãn).
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng 27.