Trong không gian $Oxyz$, viết phương trình mặt cầu $(S)$ có tâm là $I(1;0;2)$ và tiếp xúc với đường thẳng $d:\frac{x-1}{2}=\frac{y}{-1}=\frac{z}{1}$.

Trong không gian $Oxyz$ (đơn vị trên mỗi trục là mét), một ngọn hải đăng được đặt ở vị trí $I(21;35;50)$, biết rằng ngọn hải đăng được thiết kế với bán kính phủ sáng là $4km$. Giả sử người đi biển di chuyển theo một đường thẳng từ vị trí điểm $I$ đến vị trí điểm $D(5121;658;0)$. Khi người đi biển di chuyển đến điểm $H(a;b;c)$ là điểm cuối cùng trên đoạn ID mà người đi biển có thể nhìn thấy ánh sáng từ ngọn hải đăng. Lúc đó $c$ (cao độ của điểm $H$) có giá trị bằng (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ (đơn vị trên mỗi trục là kilômét), đài kiểm soát không lưu của một sân bay ở vị trí $O(0;0;0)$ và được thiết kế phát hiện máy bay ở khoảng cách tối đa $600km$. Một máy bay đang chuyển động với vận tốc 900 km/h theo đường thẳng $d$ có phương trình $\{\begin{array}{l}x=-1000+100t\\ y=-300+80t\\ z=100\sqrt{11}\end{array}$ $(t\in \mathbb{R})$ và hướng về đài kiểm soát không lưu (như hình vẽ). Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ (đơn vị trên mỗi trục là kilômét), đài kiểm soát không lưu của một sân bay ở vị trí $O(0;0;0)$ và được thiết kế phát hiện máy bay ở khoảng cách tối đa $400km$. Một máy bay đang chuyển động với vận tốc 900 km/h theo đường thẳng $d$ có phương trình

$$\{\begin{array}{l}x=-300+80t\\ y=-1000+100t\\ z=100\sqrt{11}\end{array}(t\in \mathbb{R})$$

và hướng về đài kiểm soát không lưu (như hình vẽ). Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

Trong không gian $Oxyz$ (mỗi đơn vị trên trục ứng với 1 km), đài kiểm soát không lưu sân bay có tọa độ $O(0;0;0)$. Máy bay bay trong phạm vi cách đài kiểm soát 417 km sẽ hiển thị trên màn hình ra đa. Một máy bay đang ở vị trí $A(-688;-185;8)$, chuyển động theo đường thẳng $d$ có vectơ chỉ phương là $\vec{u}=(91;75;0)$ và hướng về đài kiểm soát không lưu.

Trong không gian $Oxyz$ (mỗi đơn vị trên trục ứng với 1 km), đài kiểm soát không lưu sân bay có tọa độ $O(0;0;0)$. Máy bay bay trong phạm vi cách đài kiểm soát 417 km sẽ hiển thị trên màn hình ra đa. Một máy bay đang ở vị trí $A(-688;-185;8)$, chuyển động theo đường thẳng $d$ có vecto chỉ phương là $\vec{u}=(91;75;0)$ và hướng về đài kiểm soát không lưu.

Trong không gian $Oxyz$ cho mặt cầu $(S)$: $x^2+y^2+z^2-4x+2y-2z-3=0$ và điểm $A(5;3;-2)$. Một đường thẳng $d$ thay đổi luôn đi qua $A$ và luôn cắt mặt cầu tại hai điểm phân biệt $M$, $N$. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $S=AM+4AN$ là bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng mười)?