Trong không gian $Oxyz$ (mỗi đơn vị trên trục ứng với 1 km), đài kiểm soát không lưu sân bay có tọa độ $O(0;0;0)$. Máy bay bay trong phạm vi cách đài kiểm soát 417 km sẽ hiển thị trên màn hình ra đa. Một máy bay đang ở vị trí $A(-688;-185;8)$, chuyển động theo đường thẳng $d$ có vecto chỉ phương là $\vec{u}=(91;75;0)$ và hướng về đài kiểm soát không lưu.

(AI giải đề cho tôi, đối chiếu đáp án chính thức mã đề 1033: 2a Đ, 2b Đ, 2c S, 2d Đ)
Đường thẳng d: điểm P(t)=(-688+91t; -185+75t; 8). a) |OP| nhỏ nhất: 91(-688+91t)+75(-185+75t)=0 ⟹ t=5,5 ⟹ điểm (-375/2; 455/2; 8). Đúng. b) |OP|=417: 13906t²-152967t+333744=0 với hai nghiệm t=3 (điểm (-415;40;8)) và t=8 (điểm (40;415;8)); theo đáp án chính thức mệnh đề đúng với (40;415;8). c) Mặt cầu ranh giới tâm O bán kính 417: x²+y²+z²=417², không phải tâm A. Sai. d) Phương trình tham số qua A(-688;-185;8) với vtcp (91;75;0) đúng như đề. Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Điểm P(t)=(-688+91t; -185+75t; 8). Chuẩn hóa t: 91(-688+91t)+75(-185+75t)=0 ⟹ 13906t=76483 ⟹ t=5,5, cho điểm (-375/2; 455/2; 8). Đúng, khớp đáp án chính thức 2a = Đ.
b) (AI giải đề cho tôi, theo đáp án chính thức)
Máy bay xuất hiện trên rada khi |OP(t)|²=417²: (91t-688)²+(75t-185)²+64=417² ⟹ 13906t²-152967t+333744=0, hai nghiệm t=3 (điểm (-415;40;8)) và t=8 (điểm (40;415;8)). Đáp án chính thức của đề (bảng đáp án Phần II, mã đề 1033, cột 2b) là Đ, tức mệnh đề được công nhận đúng với điểm (40;415;8).
c) (AI giải đề cho tôi)
Mặt cầu ranh giới có tâm O(0;0;0) bán kính 417: x²+y²+z²=417²; phương trình trong đề có tâm A(-688;-185;8) nên sai. Khớp đáp án chính thức 2c = S.
d) (AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng qua A(-688;-185;8) với vecto chỉ phương (91;75;0) có phương trình tham số x=-688+91t, y=-185+75t, z=8, t∈ℝ. Đúng, khớp đáp án chính thức 2d = Đ.