Trong không gian $Oxyz$ cho mặt cầu $(S):x^2+y^2+z^2-4x+2y-2z-3=0$ và điểm $A(5;3;-2)$. Một đường thẳng $d$ thay đổi luôn đi qua $A$ và luôn cắt mặt cầu tại hai điểm phân biệt $M$, $N$. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $S=AM+4AN$ là bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

Trong không gian $Oxyz$ cho mặt cầu $(S)$: $x^2+y^2+z^2-4x+2y-2z-3=0$ và điểm $A(5;3;-2)$. Một đường thẳng $d$ thay đổi luôn đi qua $A$ và luôn cắt mặt cầu tại hai điểm phân biệt $M$, $N$. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $S=AM+4AN$ là bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ (đơn vị trên mỗi trục là kilômét), đài kiểm soát không lưu sân bay Cam Ranh - Khánh Hòa ở vị trí $O(0;0;0)$ và được thiết kế phát hiện máy bay ở khoảng cách tối đa 600 km. Một máy bay của hãng Việt Nam Airlines đang chuyển động theo đường thẳng $d$ có phương trình $$\{\begin{array}{l}x=-1000+100t\\ y=-200+80t\\ z=10\end{array}(t\in \mathbb{R})$$ và hướng về đài kiểm soát không lưu (như hình vẽ).



Xác định quãng đường mà máy bay nhận được tín hiệu của đài kiểm soát không lưu.

Trong không gian $Oxyz$ (đơn vị trên mỗi trục là km), đài kiểm soát không lưu của một sân bay ở vị trí $O(0;0;0)$, được thiết kế để phát hiện máy bay ở khoảng cách tối đa $60km$. Một máy bay đang chuyển động với vận tốc $899km/h$ theo đường thẳng $d$ có phương trình: $\{\begin{array}{l}x=-100+10t\\ y=-30+8t\\ z=2\sqrt{34}\end{array}(t\in R)$ và đi vào vùng phủ sóng của đài kiểm soát không lưu. Tính thời gian (đơn vị giây) kể từ khi đài kiểm soát không lưu phát hiện máy bay đến khi máy bay vừa ra khỏi vùng phủ sóng (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$, đài kiểm soát không lưu sân bay có tọa độ $O(0;0;0)$, mỗi đơn vị trên trục ứng với 1km. Máy bay trong phạm vi cách đài kiểm soát 417km sẽ hiển thị trên màn hình ra đa. Một máy bay đang ở vị trí $A(222;565;8)$ chuyển động theo đường thẳng $d$ có vectơ chỉ phương $\vec{u}(91;75;0)$ và hướng về đài kiểm soát không lưu (như hình vẽ). Tọa độ của vị trí sớm nhất mà máy bay xuất hiện trên màn hình ra đa là $M(a;b;c)$. Khi đó $a+b+c$ bằng bao nhiêu? *(làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)*.

Câu 4. Các thiên thạch có đường kính lớn hơn 140 m và có thể lại gần Trái Đất ở khoảng cách nhỏ hơn 7500000 km được coi là những vật thể có khả năng va chạm gây nguy hiểm cho Trái Đất. Để theo dõi những thiên thạch này, người ta đã thiết lập các trạm quan sát các vật thể bay gần Trái Đất. Giả sử có một hệ thống quan sát có khả năng theo dõi các vật thể ở độ cao không vượt quá 6630 km so với mực nước biển. Coi Trái Đất là khối cầu có bán kính 6370 km. Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ trong không gian có gốc $O$ tại tâm Trái Đất và đơn vị độ dài trên mỗi trục tọa độ là 1000 km. Một thiên thạch (coi như một hạt) chuyển động với tốc độ không đổi theo một đường thẳng từ điểm $M(6;15;-2)$ sau một thời gian vị trí đầu tiên thiên thạch di chuyển vào phạm vi theo dõi của hệ thống quan sát là điểm $A(5;12;0)$.

Hệ thống phòng không “vòm sắt” là một trong những hệ thống đánh chặn tên lửa từ xa rất nổi tiếng của Israel. Để “vòm sắt” hoạt động được chính xác người ta trang bị một Radar có khả năng phát hiện tên lửa với bán kính 417km. Trong hệ trục tọa độ $Oxyz$, một hệ thống "vòm sắt" đang ở vị trí gốc tọa độ $O(0;0;0)$ và một quả tên lửa đang ở vị trí $A(688;185;-8)$ được phóng lên và bay theo một quỹ đạo là đường thẳng có vecto chỉ phương là $\vec{u}=(-91;-75;0)$.



Giả sử hệ thống "Vòm sắt" gặp trục trặc không thể bắn hạ quả tên lửa khi đó vị trí cuối cùng quả tên lửa xuất hiện trên màn hình radar là