Câu 19THPTChuyên đề: Thể tích theo diện tích thiết diện • Lớp 12Phương trình chính tắc elipVận dụng cao#secondary:M10.G06.CONIC_BASIC.L3.ELLIPSE#curriculum:undetermined
Sân vận động Sport Hub (Singapore) là sân có mái vòm kỳ vĩ nhất thế giới. Đây là nơi diễn ra lễ khai mạc Đại hội thể thao Đông Nam Á được tổ chức tại Singapore năm 2015. Nền sân là một elip có trục lớn dài , trục bé dài (hình vẽ). Nếu cắt sân vận động theo một mặt phẳng vuông góc với trục lớn của và cắt elip ở (hình vẽ) thì ta được thiết diện luôn là một phần của hình tròn có tâm (phần tô đậm trong hình vẽ) với là một dây cung và góc . Để lắp máy điều hòa không khí thì các kỹ sư cần tính thể tích phần không gian bên dưới mái che và bên trên mặt sân, coi như mặt sân là một mặt phẳng và thể tích vật liệu là mái không đáng kể. Biết rằng cách tính công suất cần đủ là . Hỏi cần ít nhất bao nhiêu chiếc điều hòa công suất ?
Sân vận động Sport Hub (Singapore) là sân có mái vòm kỳ vĩ nhất thế giới. Đây là nơi diễn ra lễ khai mạc Đại hội thể thao Đông Nam Á được tổ chức tại Singapore năm 2015. Nền sân là một elip có trục lớn dài , trục bé dài (hình vẽ). Nếu cắt sân vận động theo một mặt phẳng vuông góc với trục lớn của và cắt elip ở (hình vẽ) thì ta được thiết diện luôn là một phần của hình tròn có tâm (phần tô đậm trong hình vẽ) với là một dây cung và góc . Để lắp máy điều hòa không khí thì các kỹ sư cần tính thể tích phần không gian bên dưới mái che và bên trên mặt sân, coi như mặt sân là một mặt phẳng và thể tích vật liệu là mái không đáng kể. Biết rằng cách tính công suất cần đủ là . Hỏi cần ít nhất bao nhiêu chiếc điều hòa công suất ?
Đáp án chính thức: Tự luận
Hướng dẫn giải chi tiết
(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục toạ độ với tâm elip là gốc O, trục lớn là Ox. Elip (E): x²/75² + y²/45² = 1 (a = 75, b = 45).
Tại vị trí x (−75 ≤ x ≤ 75), mặt phẳng vuông góc với trục lớn cắt elip theo dây MN có độ dài 2y với y = 45√(1 − x²/75²).
Thiết diện là hình tròn có dây MN căng góc ở tâm MIN = 90°, nên bán kính R thỏa MN = R√2 ⇒ R = y√2. Diện tích phần tô đậm (hình quạt 90° trừ tam giác cân):
S(x) = (πR²/4) − (R²/2) = R²(π/4 − 1/2) = 2y²(π/4 − 1/2) = y²(π/2 − 1).
Thể tích không gian dưới mái:
V = ∫_{−75}^{75} S(x)dx = (π/2 − 1)·45²·∫_{−75}^{75}(1 − x²/75²)dx = (π/2 − 1)·2025·(4·75/3) = 202500(π/2 − 1) ≈ 115 586,3 m³.
Công suất cần: 200·V ≈ 23 117 260 BTU. Số điều hòa: 23 117 260 / 50 000 ≈ 462,35 ⇒ cần ít nhất 463 chiếc.
Chọn hệ trục toạ độ với tâm elip là gốc O, trục lớn là Ox. Elip (E): x²/75² + y²/45² = 1 (a = 75, b = 45).
Tại vị trí x (−75 ≤ x ≤ 75), mặt phẳng vuông góc với trục lớn cắt elip theo dây MN có độ dài 2y với y = 45√(1 − x²/75²).
Thiết diện là hình tròn có dây MN căng góc ở tâm MIN = 90°, nên bán kính R thỏa MN = R√2 ⇒ R = y√2. Diện tích phần tô đậm (hình quạt 90° trừ tam giác cân):
S(x) = (πR²/4) − (R²/2) = R²(π/4 − 1/2) = 2y²(π/4 − 1/2) = y²(π/2 − 1).
Thể tích không gian dưới mái:
V = ∫_{−75}^{75} S(x)dx = (π/2 − 1)·45²·∫_{−75}^{75}(1 − x²/75²)dx = (π/2 − 1)·2025·(4·75/3) = 202500(π/2 − 1) ≈ 115 586,3 m³.
Công suất cần: 200·V ≈ 23 117 260 BTU. Số điều hòa: 23 117 260 / 50 000 ≈ 462,35 ⇒ cần ít nhất 463 chiếc.
