Mép dưới của một gầu xúc được mô tả theo từng đoạn bởi một hàm bậc hai chứa đường cong $AC$ và một hàm bậc nhất chứa đoạn thẳng $BC$ (tất cả kích thước tính bằng cm)



Tính dung tích (thể tích chứa) của gầu xúc bằng bao nhiêu lít?

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục Oxy với A(0,0), B(80,0), trục Ox dọc theo mép trên AB, chiều dương Oy hướng xuống. Chiều sâu (dài) gầu là 120 cm.

Đường cong AC là cung parabol có đỉnh tại $x=30$, độ sâu lớn nhất 22,5 cm (theo kích thước 30, 10, 22,5 trên hình) và đi qua A(0,0). Phương trình dạng $y=a(x-30{)}^2+22,5$; thay A(0,0): $900a+22,5=0\Rightarrow a=-\frac{1}{40}$, tức $y=22,5-\frac{(x-30{)}^2}{40}$.

Kiểm tra tại C(40, y): $y=22,5-\frac{100}{40}=20$, đúng với kích thước 20 cm ở cạnh B (C cách B theo phương thẳng đứng 20 cm).

Diện tích phần cong (giữa đoạn AB và cung AC, với x từ 0 đến 40):
$$S_1={\int }_0^{40}\left(22,5-\frac{(x-30{)}^2}{40}\right)dx=22,5\cdot 40-{\left[\frac{(x-30{)}^3}{120}\right]}_0^{40}=900-\frac{10000-(-27000)}{120}=900-\frac{37000}{120}=\frac{2000}{3}{\text{cm}}^2.$$

Diện tích phần tam giác dưới đoạn BC (đáy 40 cm, chiều cao 20 cm): $S_2=\frac{1}{2}\cdot 40\cdot 20=400{\text{cm}}^2$.

Tổng diện tích mặt cắt ngang: $S=\frac{2000}{3}+400=\frac{3200}{3}{\text{cm}}^2$.

Thể tích gầu (chiều dài 120 cm): $V=\frac{3200}{3}\cdot 120=128000{\text{cm}}^3=128\text{lıˊt}$.

Kết quả khớp với đáp án 128 ở trang đáp án.