Một phần mềm mô phỏng vận động viên đang tập bắn súng trong không gian $Oxyz$. Cho biết trục $d$ của nòng súng có phương trình: $\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{-3}=\frac{z-3}{-5}$ và hồng tâm $A(8;-19;6m+4)$. Hỏi $m$ bằng bao nhiêu vận động viên có bắn trúng hồng tâm.

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\{\begin{array}{l}x=2-3t\\ y=-1-t\\ z=3+2t\end{array}$ . Điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng $d$ ?

Tại một nút giao thông có hai con đường. Trên thiết kế, trong không gian $Oxyz$, hai con đường đó thuộc hai đường thẳng ${\Delta }_1$ và ${\Delta }_2$. Biết đường thẳng ${\Delta }_1$ đi qua hai điểm $A(2;1;1)$, $B(3;0;3)$ và đường thẳng ${\Delta }_2:\frac{x-7}{3}=\frac{y}{1}=\frac{z+1}{-1}$.



(Nút giao khác mức là nơi có hai hoặc nhiều tuyến đường giao nhau nằm ở cao độ khác nhau)

Trong không gian $Oxyz$ cho 2 điểm:
$$A(4;0;1)\text{ vaˋ }B(-2;2;3).$$
a. Viết phương trình đường thẳng $AB$.
b. Viết phương trình mặt cầu có đường kính $AB$.

Cho hai điểm $A(-1;2;1),B(1,3,-1)$. Phương trình đường thẳng $AB$ là

Cho đường thẳng $d:\frac{x-2}{1}=\frac{y+2}{2}=\frac{z-1}{-3}$ và mặt phẳng $(P):x-2y-2z-3=0$. Gọi $\Delta$ là đường thẳng nằm trên mặt phẳng $(P)$ và vuông góc với đường thẳng $d$

Để treo một chậu cây người ta cần lấy trên miệng của chậu cây đó 3 điểm và sử dụng 3 đoạn dây có độ dài bằng nhau để nối 3 điểm đó với một điểm treo (xem hình minh họa ). Giả sử trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, ba điểm trên miệng của chậu cây là $A(0;1;2)$, $B(2;-2;1)$, $C(-2;0;1)$; điểm treo $M(a;b;c)$ nằm trên mặt phẳng $(\alpha )$: $2x+2y+z-3=0$. Bình phương khoảng cách từ điểm $M$ đến gốc tọa độ $O$ bằng bao nhiêu?