Một khinh khí cầu bay với độ cao (so với mực nước biển) tại thời điểm $t\left(0\le t\le 29\right)$ là $h(t)$, trong đó $t$ tính bằng phút, $h(t)$ tính bằng mét. Tốc độ bay của khinh khí cầu được cho bởi hàm số $v(t)=a{t}^2+bt\left(a,b\in \mathbb{R}\right)$, với $t$ tính bằng phút, $v(t)$ tính bằng mét/phút. Tại thời điểm xuất phát, khinh khí cầu ở độ cao 520 m và 5 phút sau khi xuất phát, khinh khí cầu đã ở độ cao 530 m. Khinh khí cầu sẽ trở lại độ cao khi xuất phát sau 15 phút.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $h(t)=h(0)+{\int }_0^{t}v(x)dx=520+\frac{a{t}^3}{3}+\frac{b{t}^2}{2}$. Theo đề: $h(5)=530\Rightarrow \frac{125a}{3}+\frac{25b}{2}=10$; và $h(15)=520\Rightarrow 1125a+\frac{225b}{2}=0\Rightarrow b=-10a$. Suy ra $\frac{125a}{3}-125a=10\Rightarrow -\frac{250a}{3}=10\Rightarrow a=-\frac{3}{25},b=\frac{6}{5}$. Vậy $v(t)=-\frac{3}{25}{t}^2+\frac{6}{5}t=-\frac{3}{25}t(t-10)$. a) Tại thời điểm xuất phát khinh khí cầu ở độ cao 520 m nên $h(0)=520$ m: đúng. b) $h(t)=520+{\int }_0^{t}v(x)dx$, thiếu hằng số 520 nên khẳng định sai. c) $v(t)>0$ khi $0<t<10$, $v(10)=0$, nên độ cao lớn nhất tại $t=10$: $h(10)=520+{\int }_0^{10}\left(-\frac{3}{25}{t}^2+\frac{6}{5}t\right)dt=520+\left(-40+60\right)=540$ m: đúng. d) Khinh khí cầu tăng độ cao khi $v(t)>0$, tức $0<t<10$, kéo dài 10 phút kể từ lúc xuất phát: đúng. Kết quả khớp với đáp án nguồn (1a Đ, 1b S, 1c Đ, 1d Đ).
a) (AI giải đề cho tôi)
Đề cho tại thời điểm xuất phát ($t=0$) khinh khí cầu ở độ cao 520 m, nên $h(0)=520$ m.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì $h^{\prime }(t)=v(t)$ và $h(0)=520$, nên $h(t)=520+{\int }_0^{t}v(x)dx$. Khẳng định thiếu số hạng $h(0)=520$ nên sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
Từ các điều kiện tìm được $a=-\frac{3}{25},b=\frac{6}{5}$, nên $v(t)=-\frac{3}{25}t(t-10)$. Độ cao lớn nhất tại $t=10$: $h(10)=520+{\int }_0^{10}v(t)dt=520+20=540$ m.
d) (AI giải đề cho tôi)
Khinh khí cầu tăng độ cao khi $v(t)>0$, tức $-\frac{3}{25}t(t-10)>0\iff 0<t<10$, nên giai đoạn tăng độ cao kéo dài 10 phút kể từ thời điểm xuất phát.