Tại một nút giao thông có hai con đường. Trên thiết kế, trong không gian $Oxyz$, hai con đường đó thuộc hai đường thẳng ${\Delta }_1$ và ${\Delta }_2$. Biết đường thẳng ${\Delta }_1$ đi qua hai điểm $A(2;1;1)$, $B(3;0;3)$ và đường thẳng ${\Delta }_2:\frac{x-7}{3}=\frac{y}{1}=\frac{z+1}{-1}$.



(Nút giao khác mức là nơi có hai hoặc nhiều tuyến đường giao nhau nằm ở cao độ khác nhau)

(AI giải đề cho tôi)
a) $\overrightarrow{AB}=B-A=(3-2;0-1;3-1)=(1;-1;2)$, đúng là vecto chỉ phương của ${\Delta }_1$, khẳng định đúng. b) Thay $M(-7;0;1)$ vào ${\Delta }_2$: $\frac{-7-7}{3}=-\frac{14}{3}\ne 0=\frac{0}{1}$, nên $M\notin {\Delta }_2$, khẳng định sai. c) ${\Delta }_1$ đi qua $B(3;0;3)$ với vecto chỉ phương $(1;-1;2)$ nên $\frac{x-3}{1}=\frac{y}{-1}=\frac{z-3}{2}$, đúng. d) Hai vecto chỉ phương $(1;-1;2)$ và $(3;1;-1)$ không tỉ lệ. Tham số hóa: ${\Delta }_1:(2+t;1-t;1+2t)$, ${\Delta }_2:(7+3s;s;-1-s)$. Từ $1-t=s$ và $2+t=7+3s$ được $t=2,s=-1$; kiểm tra $z$: $1+2\cdot 2=5\ne -1-(-1)=0$, vô nghiệm. Vậy ${\Delta }_1$ và ${\Delta }_2$ chéo nhau, không cắt nhau nên nút giao là nút giao khác mức, đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}=B-A=(3-2;0-1;3-1)=(1;-1;2)$, đúng là một vecto chỉ phương của ${\Delta }_1$. Khẳng định đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
Thay $M(-7;0;1)$: $\frac{-7-7}{3}=-\frac{14}{3}\ne \frac{0}{1}$ nên $M\notin {\Delta }_2$. Khẳng định sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
${\Delta }_1$ qua $B(3;0;3)$, vecto chỉ phương $(1;-1;2)$ nên phương trình chính tắc là $\frac{x-3}{1}=\frac{y}{-1}=\frac{z-3}{2}$. Khẳng định đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng chéo nhau (hệ phương trình vô nghiệm, vecto chỉ phương không tỉ lệ) nên chúng không cắt nhau ở cùng cao độ: nút giao khác mức. Khẳng định đúng.