Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S)$ có phương trình $(x+1{)}^2+(y+2{)}^2+(z+3{)}^2=14$ và điểm $M(-1;-3;-2)$. Gọi $I$ là tâm của mặt cầu $(S)$.

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S)$ có phương trình $(x+1{)}^2+(y+2{)}^2+(z+3{)}^2=14$ và điểm $M(-1;-3;-2)$. Gọi $I$ là tâm của mặt cầu $(S)$.

Trong không gian $Oxyz$, mặt cầu $(S)$ có tâm $I(2;0;24)$ và tiếp xúc với mặt phẳng $(P)$ $3x+4y-z-8=0$ có phương trình dạng $x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz+d=0$. Hỏi $d=$ ?

Trong không gian $Oxyz$, gọi $(P)$ là mặt phẳng đi qua điểm $A(1;4;-3)$ và chứa trục $Ox$. Tính bán kính mặt cầu $(S)$ có tâm $I(1;2;1)$ và tiếp xúc với mặt phẳng $(P)$.

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):x-2y+2z-3=0$ và mặt cầu $(S):x^2+y^2+z^2+2x-4y-2z+5=0$. Giả sử $M\in (P)$ và $N\in (S)$ sao cho $\overrightarrow{MN}$ cùng phương với vecto $\vec{u}=(1;0;1)$ và khoảng cách giữa điểm $M$ và $N$ đạt giá trị lớn nhất. Tính $MN$. (làm tròn đến hàng phần chục)

Công nghệ hỗ trợ trọng tài VAR (Video Assistant Referee) thiết lập một hệ tọa độ Oxyz để theo dõi vị trí của quả bóng $M$. Cho biết $M$ đang nằm trên mặt sân có phương trình $z=0$, đồng thời thuộc mặt cầu (S): $(x-22{)}^2+(y-4{)}^2+(z-13{)}^2=194$ (đơn vị độ dài tính theo mét). Gọi J là hình chiếu tâm I của mặt cầu (S) xuống mặt sân bóng. Khoảng cách từ vị trí $M$ của quả bóng đến điểm $J$ là:

(6,0 điểm)
1. Trong công viên có một hồ nước, đáy của hồ nằm trong mặt phẳng $(\alpha )$ và các mép trong của thành hồ giao với $(\alpha )$ tạo thành một tam giác $ABC$. Trong mặt phẳng $(\alpha )$, chọn hệ trục tọa độ $Oxy$ và tìm được $A(10;83)$, $B(26;20)$ và $C(82;62)$. Người ta muốn cải tạo hồ nước bằng cách xây một đài phun nước có đáy là hình tròn nằm trong $(\alpha )$ sao cho hình tròn này tiếp xúc với các cạnh của tam giác $ABC$. Hãy xác định tọa độ tâm hình tròn của đáy đài phun nước.
2. Trong không gian tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):x+2y+2z+11=0$, mặt cầu $(S):(x-3{)}^2+(y-4{)}^2+(z+1{)}^2=36$ và đường thẳng $\Delta :\frac{x-1}{2}=\frac{y+5}{-1}=\frac{z}{5}$. Cho điểm $M$ thay đổi trên mặt cầu $(S)$ và điểm $N$ thay đổi trên mặt phẳng $(P)$ sao cho đường thẳng $MN$ song song với đường thẳng $\Delta$ và đoạn $MN$ nhỏ nhất. Tìm tọa độ điểm $M$.
3. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang vuông tại $A$ và $B$. Biết $SA$ vuông góc với đáy, $AB=BC=a$, $AD=2a$, góc tạo bởi mặt phẳng $(SCD)$ và đáy bằng $60^{\circ }$. Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $SB$. Tính khoảng cách từ điểm $H$ đến mặt phẳng $(SCD)$.