Trong không gian $Oxyz$, mặt cầu $(S)$ có tâm $I(2;0;24)$ và tiếp xúc với mặt phẳng $(P)$ $3x+4y-z-8=0$ có phương trình dạng $x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz+d=0$. Hỏi $d=$ ?

Trong không gian $Oxyz$, gọi $(P)$ là mặt phẳng đi qua điểm $A(1;4;-3)$ và chứa trục $Ox$. Tính bán kính mặt cầu $(S)$ có tâm $I(1;2;1)$ và tiếp xúc với mặt phẳng $(P)$.

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):x-2y+2z-3=0$ và mặt cầu $(S):x^2+y^2+z^2+2x-4y-2z+5=0$. Giả sử $M\in (P)$ và $N\in (S)$ sao cho $\overrightarrow{MN}$ cùng phương với vecto $\vec{u}=(1;0;1)$ và khoảng cách giữa điểm $M$ và $N$ đạt giá trị lớn nhất. Tính $MN$. (làm tròn đến hàng phần chục)

Công nghệ hỗ trợ trọng tài VAR (Video Assistant Referee) thiết lập một hệ tọa độ Oxyz để theo dõi vị trí của quả bóng $M$. Cho biết $M$ đang nằm trên mặt sân có phương trình $z=0$, đồng thời thuộc mặt cầu (S): $(x-22{)}^2+(y-4{)}^2+(z-13{)}^2=194$ (đơn vị độ dài tính theo mét). Gọi J là hình chiếu tâm I của mặt cầu (S) xuống mặt sân bóng. Khoảng cách từ vị trí $M$ của quả bóng đến điểm $J$ là:

(6,0 điểm)
1. Trong công viên có một hồ nước, đáy của hồ nằm trong mặt phẳng $(\alpha )$ và các mép trong của thành hồ giao với $(\alpha )$ tạo thành một tam giác $ABC$. Trong mặt phẳng $(\alpha )$, chọn hệ trục tọa độ $Oxy$ và tìm được $A(10;83)$, $B(26;20)$ và $C(82;62)$. Người ta muốn cải tạo hồ nước bằng cách xây một đài phun nước có đáy là hình tròn nằm trong $(\alpha )$ sao cho hình tròn này tiếp xúc với các cạnh của tam giác $ABC$. Hãy xác định tọa độ tâm hình tròn của đáy đài phun nước.
2. Trong không gian tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):x+2y+2z+11=0$, mặt cầu $(S):(x-3{)}^2+(y-4{)}^2+(z+1{)}^2=36$ và đường thẳng $\Delta :\frac{x-1}{2}=\frac{y+5}{-1}=\frac{z}{5}$. Cho điểm $M$ thay đổi trên mặt cầu $(S)$ và điểm $N$ thay đổi trên mặt phẳng $(P)$ sao cho đường thẳng $MN$ song song với đường thẳng $\Delta$ và đoạn $MN$ nhỏ nhất. Tìm tọa độ điểm $M$.
3. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang vuông tại $A$ và $B$. Biết $SA$ vuông góc với đáy, $AB=BC=a$, $AD=2a$, góc tạo bởi mặt phẳng $(SCD)$ và đáy bằng $60^{\circ }$. Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $SB$. Tính khoảng cách từ điểm $H$ đến mặt phẳng $(SCD)$.

Một robot khảo sát không gian hoạt động trong môi trường $3D$ có một cảm biến hình cầu, được lập trình để di chuyển sao cho cảm biến này tiếp xúc tại một điểm $Q$ trên một bức tường nghiêng là mặt phẳng có phương trình $x+y-z-3=0$ để đo đạc. Trong lúc khảo sát, cảm biến luôn phải đi qua hai điểm chuẩn đã cố định sẵn trong không gian là điểm $M(1;1;1)$ – vị trí cảm biến tại lần đo đầu tiên và điểm $N(-3;-3;-3)$ – vị trí cảm biến tại lần đo tiếp theo. Để tối ưu hoá phần mềm điều hướng, kỹ sư muốn xác định rằng: Dù cảm biến (hình cầu) có di chuyển sao cho tiếp xúc ở đâu trên bức tường, điểm tiếp xúc đó luôn nằm trên một đường tròn cố định. Tính bán kính của đường tròn cố định đó, từ đó giúp lập trình robot dò tìm tiếp điểm dễ dàng hơn trong các lần đo tiếp theo.

Một robot khảo sát không gian hoạt động trong môi trường 3D có một cảm biến hình cầu, được lập trình để di chuyển sao cho cảm biến này tiếp xúc tại một điểm $Q$ trên một bức tường nghiêng là mặt phẳng có phương trình $x+y-z-3=0$ để đo đạc. Trong lúc khảo sát, cảm biến luôn phải đi qua hai điểm chuẩn đã cố định sẵn trong không gian là điểm $M(1;1;1)$ – *vị trí cảm biến tại lần đo đầu tiên* và điểm $N(-3;-3;-3)$ – *vị trí cảm biến tại lần đo tiếp theo*. Để tối ưu hoá phần mềm điều hướng, kỹ sư muốn xác định rằng: Dù cảm biến (hình cầu) có di chuyển sao cho tiếp xúc ở đâu trên bức tường, điểm tiếp xúc đó luôn nằm trên một đường tròn cố định. Tính bán kính của đường tròn cố định đó, từ đó giúp lập trình robot dò tìm tiếp điểm dễ dàng hơn trong các lần đo tiếp theo.