Biết ${\int }_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}}\left(2{\cot }^{2}x+5\right)dx=\frac{\pi }{a}+b\sqrt{3}+c$ $(a,b,c\in \mathbb{Z})$. Khi đó giá trị của $P=a+b+c$ là

Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên đoạn $[1;4]$ và $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên đoạn $[1;4]$. Biết $\underset{1}{\overset{4}{\int }}f(x)dx=8$ và $F(1)=6$, Tính $F(4)$.

Tính tích phân $I=\underset{0}{\overset{2}{\int }}(2x+1)dx$

Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $[0;1]$, thỏa mãn ${\left(f^{\prime }(x)\right)}^2+4f(x)=8x^2+4$, $\forall x\in [0;1]$ và $f(1)=2$. Khi đó tích phân ${\int }_0^{1}f(x)dx=\frac{a}{b}$. Hãy tính giá trị $a+b$ (biết $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản).

Tính tích phân $I=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\sin \left(\frac{\pi }{4}-x\right)dx.$

Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm liên tục trên đoạn $\left[0;2\right]$ và $f(0)-f(2)=2$. Tính $\underset{0}{\overset{2}{\int }}{f}^{\prime }(x)dx.$

Biết ${\int }_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}}3{\tan }^{2}x\mathrm{d}x=a\sqrt{3}+b+\frac{\pi }{c}$ $(a,b,c\in \mathbb{Z})$. Giá trị $a.b.c$ bằng