Trong không gian tọa độ $(Oxyz)$, cho điểm $A(1;2;1)$ và mặt phẳng $(\alpha ):x-2y+2z+2=0$. Mặt phẳng $(\beta )$ song song với mặt phẳng $(\alpha )$ và cách $A$ một khoảng bằng 1. Khi đó mặt phẳng $(\beta )$ dạng $x-by+cz+d=0$, trong đó $b,c,d$ là các số thực dương. Giá trị của biểu thức $S=3b-c+d$ là bao nhiêu?

(AI giải đề cho tôi)
(β) song song (α): x - 2y + 2z + d = 0, suy ra b = 2, c = 2. Khoảng cách từ A(1;2;1) đến (β): d(A,(β)) = |1 - 4 + 2 + d|/√(1+4+4) = |d - 1|/3 = 1 ⟹ d - 1 = ±3 ⟹ d = 4 hoặc d = -2. Vì b, c, d là số thực dương nên d = 4. Vậy S = 3b - c + d = 6 - 2 + 4 = 8.