Câu 20Học KỳChuyên đề: Góc đường mặt Oxyz • Lớp 12Lập phương trình mặt phẳngTích vô hướng độ dài góc OxyzVận dụng#secondary:M12.G02.PLANE_EQUATION.L3.CONSTRUCT#secondary:M12.G01.VECTOR_3D.L3.DOT_PRODUCT
Trên một sườn núi (có độ nghiêng đều), người ta trồng một cây thông và muốn giữ nó không bị nghiêng bằng hai sợi dây neo như hình bên. Giả thiết cây thông mọc thẳng đứng và trong một hệ tọa độ phù hợp, các điểm O (gốc cây thông) và A, B (nơi buộc dây neo) có tọa độ tương ứng là , , , đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét. Biết rằng hai dây neo đều được buộc vào cây thông tại điểm và được kéo căng tạo thành các đoạn thẳng. Tính tổng các góc tạo bởi mỗi dây neo và mặt phẳng sườn núi (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ).
Trên một sườn núi (có độ nghiêng đều), người ta trồng một cây thông và muốn giữ nó không bị nghiêng bằng hai sợi dây neo như hình bên. Giả thiết cây thông mọc thẳng đứng và trong một hệ tọa độ phù hợp, các điểm O (gốc cây thông) và A, B (nơi buộc dây neo) có tọa độ tương ứng là , , , đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét. Biết rằng hai dây neo đều được buộc vào cây thông tại điểm và được kéo căng tạo thành các đoạn thẳng. Tính tổng các góc tạo bởi mỗi dây neo và mặt phẳng sườn núi (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ).
Đáp án chính thức: 92
Hướng dẫn giải chi tiết
(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng sườn núi đi qua O, A, B. VTCP pháp tuyến: n = OA×OB = (3;-4;2)×(-5;-2;1) = (0;-13;-26) ∝ (0;1;2), |n|=√5. Hai dây neo từ C(0;0;5): CA = (3;-4;-3), |CA|=√34; CB = (-5;-2;-4), |CB|=√45. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: sinθ = |n·v|/(|n||v|). Dây CA: sinθ₁ = 10/(√5·√34) = 10/√170 ≈ 0,7670 → θ₁ ≈ 50,07°. Dây CB: sinθ₂ = 10/(√5·√45) = 10/15 = 2/3 → θ₂ ≈ 41,81°. Tổng ≈ 91,88° ≈ 92°.
Mặt phẳng sườn núi đi qua O, A, B. VTCP pháp tuyến: n = OA×OB = (3;-4;2)×(-5;-2;1) = (0;-13;-26) ∝ (0;1;2), |n|=√5. Hai dây neo từ C(0;0;5): CA = (3;-4;-3), |CA|=√34; CB = (-5;-2;-4), |CB|=√45. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: sinθ = |n·v|/(|n||v|). Dây CA: sinθ₁ = 10/(√5·√34) = 10/√170 ≈ 0,7670 → θ₁ ≈ 50,07°. Dây CB: sinθ₂ = 10/(√5·√45) = 10/15 = 2/3 → θ₂ ≈ 41,81°. Tổng ≈ 91,88° ≈ 92°.