Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ (đơn vị trên mỗi trục là kilômét), đài kiểm soát không lưu của một sân bay ở vị trí $O(0;0;0)$ và được thiết kế phát hiện máy bay ở khoảng cách tối đa $400km$. Một máy bay đang chuyển động với vận tốc 900 km/h theo đường thẳng $d$ có phương trình

$$\{\begin{array}{l}x=-300+80t\\ y=-1000+100t\\ z=100\sqrt{11}\end{array}(t\in \mathbb{R})$$

và hướng về đài kiểm soát không lưu (như hình vẽ). Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

(AI giải đề cho tôi)
Vùng kiểm soát là mặt cầu tâm $O$ bán kính $400$ km: $x^2+y^2+z^2=400^2=160000$.

a) Ranh giới vùng phát sóng có bán kính $400$ km nên phương trình phải là $x^2+y^2+z^2=400^2$, không phải $600^2$. → Sai.

b) $M(180;-400;100\sqrt{11})$ thuộc $d$ (với $t=6$). $O{M}^2=180^2+400^2+110000=32400+160000+110000=302400>160000$, nên $M$ nằm ngoài vùng kiểm soát. → Sai.

c) Thay $x=-300+80t,y=-1000+100t,z=100\sqrt{11}$ vào $x^2+y^2+z^2=160000$:
$(6400t^2-48000t+90000)+(10000t^2-200000t+1000000)+110000=160000$
$\iff 16400t^2-248000t+1040000=0$.
Kiểm tra: $\Delta =248000^2-4\cdot 16400\cdot 1040000=61504000000-68224000000<0$: đường bay không cắt mặt cầu. Thật vậy khoảng cách nhỏ nhất từ $O$ đến $d$ là $\sqrt{1200000-\frac{248000^2}{4\cdot 16400}}\approx 512$ km $>400$ km, máy bay không bay vào vùng kiểm soát nên không có thời gian $\frac{3}{4}$ giờ. → Sai.

d) Bán kính ranh giới là $400$ km, không phải $600$ km. → Sai.

Kết quả: cả bốn khẳng định đều Sai (SSSS), khớp đáp án mã đề 102.
a) (AI giải đề cho tôi)
Bán kính ranh giới là 400 km nên $x^2+y^2+z^2=400^2$, không phải $600^2$. → Sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
$M$ thuộc $d$ ($t=6$), $O{M}^2=302400>160000=400^2$ nên $M$ nằm ngoài vùng kiểm soát. → Sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
Thay vào phương trình mặt cầu được $16400t^2-248000t+1040000=0$ với $\Delta =61504000000-68224000000<0$: đường bay không cắt mặt cầu (khoảng cách nhỏ nhất từ $O$ đến $d$ xấp xỉ 512 km > 400 km), máy bay không vào vùng kiểm soát nên thời gian $\frac{3}{4}$ giờ sai. → Sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
Ranh giới vùng phát sóng là mặt cầu bán kính 400 km theo đề bài, không phải 600 km. → Sai.