Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ (đơn vị trên mỗi trục là kilômét), đài kiểm soát không lưu của một sân bay ở vị trí $O(0;0;0)$ và được thiết kế phát hiện máy bay ở khoảng cách tối đa $600km$. Một máy bay đang chuyển động với vận tốc 900 km/h theo đường thẳng $d$ có phương trình $\{\begin{array}{l}x=-1000+100t\\ y=-300+80t\\ z=100\sqrt{11}\end{array}$ $(t\in \mathbb{R})$ và hướng về đài kiểm soát không lưu (như hình vẽ). Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

(AI giải đề cho tôi)
a) Vùng phát hiện tối đa 600 km nên ranh giới là mặt cầu tâm O bán kính 600: $x^2+y^2+z^2=600^2=360000$. Đúng.
b) $M(-500;100;100\sqrt{11})$: $O{M}^2=250000+10000+110000=360000\Rightarrow OM=600$, M nằm trên mặt cầu ranh giới, không nằm ngoài vùng kiểm soát. Sai.
c) Thay phương trình $d$ vào mặt cầu: $(100t-1000{)}^2+(80t-300{)}^2+110000=360000\iff 16400t^2-248000t+840000=0\iff 41t^2-620t+2100=0$. Kiểm tra biệt thức: $620^2-4\cdot 41\cdot 2100=384400-344400=40000$, $\sqrt{40000}=200$, nên $t_1=\frac{210}{41},t_2=10$. Quãng đường trong vùng: $(t_2-t_1)|\vec{u}|=\frac{200}{41}\cdot \sqrt{100^2+80^2}=\frac{200}{41}\cdot 20\sqrt{41}=\frac{4000}{\sqrt{41}}\approx 624,7$ km. Thời gian $=\frac{624,7}{900}\approx 0,69$ giờ $\ne \frac{4}{3}$ giờ. Sai.
d) Bán kính mặt cầu ranh giới là 600 km, không phải 300 km. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Bán kính vùng phát hiện 600 km nên $x^2+y^2+z^2=360000$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$O{M}^2=360000\Rightarrow OM=600$: M nằm trên mặt cầu ranh giới, không ngoài vùng kiểm soát.
c) (AI giải đề cho tôi)
Giao tuyến cho $t_1=\frac{210}{41},t_2=10$; quãng đường $\frac{4000}{\sqrt{41}}\approx 624,7$ km, thời gian $\approx 0,69$ giờ $\ne \frac{4}{3}$ giờ.
d) (AI giải đề cho tôi)
Bán kính mặt cầu là 600 km, không phải 300 km.