Trong không gian $Oxyz$ (đơn vị trên các trục là mét), một kiến trúc sư cần lắp đặt một đèn chiếu sáng tại vị trí $A$ cho một phòng triển lãm. Điểm $A$ thay đổi trên một khung thép hình tròn là giao tuyến của mặt phẳng $(\alpha ):x+y-z+4=0$ và mặt cầu $(S):(x-1{)}^2+(y-1{)}^2+(z-2{)}^2=6$. Đèn phát ra luồng sáng có dạng hình nón với góc ở đỉnh bằng $60^{\circ }$, trục của hình nón luôn vuông góc với mặt sàn $(P):x-2y+2z+10=0$. Để đảm bảo mật độ ánh sáng tập trung cao nhất cho khu vực trưng bày dưới sàn, kiến trúc sư cần điều chỉnh đèn đến vị trí sao cho diện tích vùng chiếu sáng trên mặt sàn $(P)$ là nhỏ nhất. Hãy tính diện tích vùng chiếu sáng nhỏ nhất đó. (Không làm tròn các kết quả trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng phần mười của ${\text{m}}^2$).