Cho mặt phẳng $(\alpha )$ cắt mặt cầu $S(O;R)$ theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính $r$. Gọi $d$ là khoảng cách từ $O$ đến $(\alpha )$. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):(x+1{)}^2+(y-1{)}^2+z^2=4$ và hai điểm $A(1;2;4),B(0;0;1)$. Mặt phẳng $(P):ax+by+cz+3=0$ ($a,b,c\in \mathbb{R}$) đi qua $A,B$ và cắt $(S)$ theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính nhỏ nhất. Giá trị của $a+b+c$ bằng

Người ta muốn thiết kế một lều cắm trại có dạng là một phần mặt cầu bằng phần mềm 3D như hình vẽ bên. Cho biết phương trình bề mặt của lều là $(S):(x-5{)}^2+(y-3{)}^2+(z-2{)}^2=36$, phương trình mặt phẳng chứa cửa lều là $(P):x=2$ và phương trình mặt phẳng chứa sàn lều là $(Q):z=0$. Gọi $r_1$ là bán kính của đường tròn cửa lều và $r_2$ là bán kính của đường tròn sàn lều. Tính giá trị biểu thức $r_1^2+r_2^2$ (kết quả được ghi dưới dạng số nguyên).

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):x^2+(y-1{)}^2+z^2=25$ và mặt phẳng $(P):2x+2y-z+15=0$. Gọi $M_1(a;b;c),M_2(d;e;f)$ là hai điểm thuộc $(S)$ sao cho $d(M_1,(P))$ đạt giá trị lớn nhất và $d(M_2,(P))$ đạt giá trị nhỏ nhất. Giá trị của $T=a+3b+c+d-3e+f$ là:

Cho mặt phẳng $(P)$ không có điểm chung với mặt cầu $S(O;R)$. Gọi $d$ là khoảng cách từ $O$ đến $(P)$. Khẳng định nào dưới đây đúng?

Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A(1;-1;1)$ và đường thẳng $d:\{\begin{array}{l}x=t\\ y=-1-2t\\ z=2-2t\end{array}(t\in \mathbb{R})$. Gọi $(P)$ là mặt phẳng đi qua $A$ và chứa $d$. Lập phương trình mặt cầu $(S)$ có tâm $I(2;3;-1)$ sao cho $(S)$ tiếp xúc với $(P)$.

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):x-2y+2z=0$ và ba điểm $A(2;0;2),B(4;0;4),C(5;2;4)$. Gọi $M$ là điểm di động trên $(P)$ sao cho có một mặt cầu $(S)$ đi qua $A,B$ và tiếp xúc với $(P)$ tại $M$. Khi đó, độ dài đoạn $CM$ có giá trị nhỏ nhất là