Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):(x+1{)}^2+(y-1{)}^2+z^2=4$ và hai điểm $A(1;2;4),B(0;0;1)$. Mặt phẳng $(P):ax+by+cz+3=0$ ($a,b,c\in \mathbb{R}$) đi qua $A,B$ và cắt $(S)$ theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính nhỏ nhất. Giá trị của $a+b+c$ bằng

Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(-1;1;0)$ và bán kính $R=2$.
Ta có $IB=\sqrt{(0-(-1){)}^2+(0-1{)}^2+(1-0{)}^2}=\sqrt{3}<R=2$, nên điểm $B$ nằm trong mặt cầu $(S)$.
Do đó mặt phẳng $(P)$ đi qua đường thẳng $AB$ luôn cắt $(S)$ theo giao tuyến là một đường tròn $(C)$ có bán kính $r=\sqrt{R^2-d^2(I,(P))}$.
Bán kính $r$ nhỏ nhất khi và chỉ khi khoảng cách $d(I,(P))$ lớn nhất.

Gọi $K$ là hình chiếu vuông góc của $I$ lên đường thẳng $AB$.
Ta luôn có $d(I,(P))\le IK$.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $(P)\perp IK$ tại $K$.

Đường thẳng $AB$ đi qua $B(0;0;1)$ có VTCP ${\vec{u}}_{AB}=\overrightarrow{BA}=(1;2;3)$, phương trình tham số:
$\{\begin{array}{l}x=t\\ y=2t\\ z=1+3t\end{array}$.
Điểm $K\in AB\Rightarrow K(t;2t;1+3t)\Rightarrow \overrightarrow{IK}=(t+1;2t-1;3t+1)$.
Vì $IK\perp AB\iff \overrightarrow{IK}\cdot {\vec{u}}_{AB}=0$:
$1(t+1)+2(2t-1)+3(3t+1)=0\iff 14t+2=0\iff t=-\frac{1}{7}$.
Suy ra $\overrightarrow{IK}=\left(\frac{6}{7};-\frac{9}{7};\frac{4}{7}\right)=\frac{1}{7}(6;-9;4)$.

Mặt phẳng $(P)$ vuông góc với $IK$ nên nhận ${\vec{n}}_1=(6;-9;4)$ làm vectơ pháp tuyến.
Phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua $B(0;0;1)$ là:
$6(x-0)-9(y-0)+4(z-1)=0\iff 6x-9y+4z-4=0$.
Nhân cả hai vế với $-\frac{3}{4}$ để đưa hệ số tự do về $+3$:
$-\frac{9}{2}x+\frac{27}{4}y-3z+3=0$.
Suy ra $a=-\frac{9}{2}$, $b=\frac{27}{4}$, $c=-3$.
Vậy $a+b+c=-\frac{9}{2}+\frac{27}{4}-3=-\frac{3}{4}$.