Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(-1;2;4),B(-1;-2;2)$ và mặt phẳng $(P):z-1=0$. Điểm $M(a;b;c)$ thuộc mặt phẳng $(P)$ sao cho tam giác $MAB$ vuông tại $M$ và diện tích tam giác $MAB$ nhỏ nhất. Tính $a^2+b^2+c^2$.

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S)$ có phương trình $(x-1{)}^2+(y+2{)}^2+(z-3{)}^2=4$. Tọa độ tâm $I$ và bán kính $R$ của mặt cầu $(S)$ là:

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):(x-2{)}^2+(y+4{)}^2+(z-1{)}^2=9$. Tâm của mặt cầu $(S)$ đã cho có tọa độ là

Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A(-1;1;-1)$ và mặt cầu $(S):(x-1{)}^2+(y-2{)}^2+(z+3{)}^2=25$. Mặt phẳng $(P)$ đi qua $A$ và cắt $(S)$ theo giao tuyến là đường tròn $(C^{\prime })$. Gọi $(N)$ là khối nón có đỉnh là tâm của mặt cầu và đáy là hình tròn giới hạn bởi $(C^{\prime })$. Tính bán kính của $(C^{\prime })$ khi thể tích của khối nón $(N)$ đạt giá trị lớn nhất.

Cho mặt cầu có bán kính $R$. Diện tích của mặt cầu đã cho bằng

Trong không gian $Oxyz$, phương trình mặt cầu tâm $I(1;-3;0)$ và bán kính $R=\sqrt{5}$ là

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, có $AB=12$; $AC=16$. Các cầu $(S_1),(S_2),(S_3)$ lần lượt có tâm $A,B,C$ và có bán kính tương ứng là $3;6;9$. Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng tiếp xúc đồng thời với cả 3 mặt cầu trên?