Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):x^2+y^2+z^2=9$ và điểm $M(1;2;3)$. Mặt phẳng $(P)$ đi qua $M$ và cắt $(S)$ theo thiết diện là đường tròn có chu vi nhỏ nhất có phương trình là

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):(x-5{)}^2+(y-1{)}^2+(z+2{)}^2=16$. Bán kính của mặt cầu $(S)$ là

Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $M(0;-1;2)$ và $N(2;-1;2)$. Phương trình mặt cầu nhận $MN$ làm đường kính là

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):(x-2{)}^2+(y-4{)}^2+(z-6{)}^2=24$ và điểm $A(-2;0;-2)$. Từ $A$ kẻ các tiếp tuyến đến $(S)$ với các tiếp điểm thuộc đường tròn $(\omega )$. Từ điểm $M$ di động nằm ngoài $(S)$ và nằm trong mặt phẳng chứa $(\omega )$ kẻ các tiếp tuyến đến $(S)$ với các tiếp điểm thuộc đường tròn $({\omega }^{\prime })$. Biết rằng khi hai đường tròn $(\omega ),({\omega }^{\prime })$ có cùng bán kính thì $M$ luôn thuộc một đường tròn cố định. Tìm bán kính $r$ của đường tròn đó.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):(x-2{)}^2+(y+1{)}^2+(z-3{)}^2=5$. Tâm và bán kính của $(S)$ lần lượt là

Thể tích của khối cầu có đường kính bằng $2a$ là:

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho phương trình $x^2+y^2+z^2-2(m-2)x+2my-6z+m^2+10=0$ (*). Số giá trị nguyên của $m$ thuộc đoạn $[-2;10]$ để (*) là phương trình của một mặt cầu là