Trong không gian $Oxyz$, có một nguồn sáng phát ra từ điểm $S(1;1;5)$ theo mọi hướng và một tấm bìa chắn sáng hình tròn $(C)$ có tâm $I(3;3;7)$ bán kính bằng $2$ nằm trên mặt phẳng có phương trình $(\alpha ):x+y+z-13=0$. Dưới nguồn sáng, bóng của $(C)$ trên mặt phẳng $(Oxy)$ là một hình phẳng có diện tích bằng bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)
[IMAGE_1]

Trong không gian $Oxyz$, khoảng cách từ gốc tọa độ $O$ đến mặt phẳng $(P):x+2y-2z-12=0$ bằng

Câu 7. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho ba điểm $A(1;1;3)$, $B(-1;3;2)$, $C(-1;2;3)$. Tính khoảng cách $h$ từ gốc tọa độ $O$ đến mặt phẳng $(ABC)$.

Câu 3. Trong không gian $Oxyz$, có $3$ diễn viên xiếc nhào lộn đang ở $3$ vị trí $A(1;-2;3)$, $B(3;4;1)$, $C(-5;2;1)$. Gọi $(\alpha )$ là một mặt phẳng lưới bảo hộ di động luôn chứa trục hoành sao cho $A;B;C$ nằm cùng phía với $(\alpha )$ và $d_1;d_2;d_3$ lần lượt là khoảng cách từ $A;B;C$ đến $(\alpha )$. Để tăng tính hấp dẫn cho tiết mục, trước khi biểu diễn người ta sẽ điều chỉnh mặt phẳng $(\alpha )$ sao cho biểu thức $T=d_1+2\cdot d_2+3\cdot d_3$ đạt giá trị lớn nhất. Biết $T$ lớn nhất bằng $a\sqrt{b}$ (với $a\in \mathbb{N}$, $b$ là số nguyên tố). Hãy tính $S=2a+3b$.

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):x-2y+2z+1=0$ và ba điểm $A(1;2;0)$, $B(1;-2;4)$, $C(3;-10;12)$. Điểm $M(a;b;c)$ thuộc $(P)$ sao cho $M{A}^2+M{B}^2+2M{C}^2$ đạt giá trị nhỏ nhất. Giá trị $2a+3b+c$ bằng

Trong không gian $Oxyz$, cho các điểm $A(1;1;1)$, $B(0;1;2)$, $C(-2;0;1)$ và mặt phẳng $(P):x-y+z+1=0$. Gọi $N$ là điểm thuộc $(P)$ sao cho $S=2N{A}^2+N{B}^2+N{C}^2$ đạt giá trị nhỏ nhất. Độ dài $ON$ bằng

Trong không gian $Oxyz$, cho $A(1;0;0)$, $B(0;1;0)$, $C(0;0;1)$. Gọi $(P)$ là mặt phẳng chứa cạnh $BC$ và vuông góc với $(ABC)$. $(C)$ là đường tròn đường kính $BC$ và nằm trong mặt phẳng $(P)$. Gọi $S$ là một điểm bất kỳ nằm trên $(C)$ khác $B,C$. Khi đó khoảng cách từ tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $SABC$ đến mặt phẳng $(Q):2x-3y+z+1=0$ bằng