Nếu ${\int }_0^{1}2f(x)\mathrm{d}x=6$ thì ${\int }_0^1\left[\frac{1}{3}f(x)+2x\right]\mathrm{d}x$ bằng

Biết $I={\int }_1^2\frac{1}{2x^2+5x+3}dx=\ln \frac{a}{b}$ với $a,b$ là các số nguyên lớn hơn $1$, phân số $\frac{a}{b}$ tối giản. Giá trị $T=a+b$ bằng

Câu 4. Cho hàm số bậc ba $y=f(x)$ có đồ thị là đường cong ở hình bên dưới. Gọi $x_1,x_2$ lần lượt là hai điểm cực trị thỏa mãn $x_2=x_1+2$ và $f(x_1)-3f(x_2)=0$. Đường thẳng song song với trục $Ox$ và qua điểm cực tiểu cắt đồ thị hàm số tại điểm thứ hai có hoành độ $x_0$ và $x_1=x_0+1$.

Tính tỉ số $\frac{S_1}{S_2}$ ($S_1$ và $S_2$ lần lượt là diện tích hai hình phẳng được gạch ở hình bên dưới).

Câu 6. Cho ${\int }_2^3\frac{x+8}{x^2+x-2}dx=a\ln 2+b\ln 5$ với $a,b$ là các số nguyên. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Câu 8. Cho parabol $(P_1):y=f(x)=-x^2+4$ cắt trục hoành tại hai điểm $A,B$ và đường thẳng $d:y=a(0<a<4)$. Xét parabol $(P_2)$ đi qua $A,B$ và có đỉnh thuộc đường thẳng $y=a$. Gọi $S_1$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi $(P_1)$ và $d$. $S_2$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi $(P_2)$ và trục hoành. Biết $S_1=S_2$ (tham khảo hình vẽ bên).

Câu 3. Một tấm kính làm mặt bàn $(H_1)$ có hình dáng tam giác đều với $3$ đỉnh được làm cong $(H_2)$. Biết cạnh tấm kính tam giác ban đầu bằng $12\text{ (dm)}$. Để cắt góc được đẹp thì người ta dùng đường Parabol $(P):y=-\frac{\sqrt{3}}{4}{x}^2+5\sqrt{3}$ $(H_3)$ có hai nhánh tiếp giáp với hai cạnh của tam giác $(H_4)$.



Diện tích mặt kính là một số có dạng $a\sqrt{b}$. Tính tổng $a+b$.

Cho ${\int }_0^{1}f(x)\mathrm{d}x=-1$; ${\int }_0^{3}f(x)\mathrm{d}x=5$. Tính ${\int }_1^{3}f(x)\mathrm{d}x$.