Trong không gian $Oxyz$, cho tứ diện $ABCD$ có tọa độ các đỉnh $A(1;1;1)$, $B(2;0;2)$, $C(-1;-1;0)$, $D(0;3;4)$. Trên các cạnh $AB,AC,AD$ lần lượt lấy các điểm $M,N,P$ thỏa mãn $\frac{AB}{AM}+\frac{AC}{AN}+\frac{AD}{AP}=6$. Viết phương trình mặt phẳng $(MNP)$, biết khối tứ diện $AMNP$ có thể tích nhỏ nhất.

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét, một thiết bị phát tia laser được đặt tại điểm $A(5\sqrt{3};8;15)$. Thiết bị này chiếu một tia sáng về phía bức tường phẳng trùng với mặt phẳng tọa độ $(Oyz)$. Biết rằng tia sáng phát ra luôn thay đổi nhưng luôn tạo với trục $Ox$ một góc $60^{\circ }$. Gọi $M$ là vị trí vệt sáng laser chiếu lên bức tường. Khoảng cách lớn nhất từ vệt sáng $M$ đến gốc tọa độ $O$ bằng bao nhiêu mét?

Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A(1;-2;0),B(-3;1;1),C(3;-1;1)$.

Một ngôi nhà được thiết kế $1$ mặt kính có dạng là hình tứ giác $ABCD$ để ngắm cảnh bên ngoài. Ngôi nhà cao $4\text{ meˊt}$ được đặt vuông góc với mặt đất, sàn nhà là hình vuông có cạnh bằng $4\text{ meˊt}$, trên hệ tọa độ $Oxyz$, đơn vị trên mỗi trục tính bằng mét, mặt kính $ABCD$ được thiết kế như hình vẽ. Để gia cố chắc chắn cho mặt kính, người chủ nhà dự định dùng hai thanh xà gồ lắp đặt như sau:
- Thanh thứ nhất một đầu cố định vào trung điểm của $BC$, dựng vuông góc với mặt kính, đầu còn lại cố định dưới sàn nhà.
- Thanh thứ hai một đầu cố định vào điểm $P(2;3;0)$ dưới sàn nhà, dựng vuông góc với mặt đất, đầu còn lại cố định vào mặt kính.
Hỏi tổng độ dài của hai thanh xà gồ là bao nhiêu mét (không làm tròn các bước tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng phần trăm)?

Trong không gian Oxyz , mặt phẳng  P  :    1 có một véctơ pháp tuyến là 3 2 1     1 1 

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):2x-3y+4z-1=0$. Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$?

Trong không gian $Oxyz$, cho ba đường thẳng $d_1:\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{2}=\frac{z}{-1}$, $d_2:\frac{x-2}{1}=\frac{y}{-2}=\frac{z+3}{2}$ và $d_3:\frac{x}{2}=\frac{y-3}{-1}=\frac{z-3}{-2}$. Mặt phẳng $(P)$ chứa đường thẳng $d_1$ tạo với đường thẳng $d_2$ một góc lớn nhất và cắt các đường thẳng $d_1,d_2,d_3$ lần lượt tại $A,B,C$ ($B,C$ không trùng với $A$). Thể tích tứ diện $OABC$ bằng