Có bao nhiêu số nguyên dương $a$ thỏa mãn $\left(\sqrt{1+{\ln }^{2}a}+\ln a\right)\left(\sqrt{1+(a-3{)}^2}+a-3\right)\le 1$?

Nhân cả hai vế với lượng liên hợp dương $\sqrt{1+{\ln }^{2}a}-\ln a>0$, bất phương trình tương đương $\sqrt{1+(a-3{)}^2}+a-3\le \sqrt{1+(-\ln a{)}^2}+(-\ln a)$. Xét hàm số $f(t)=\sqrt{1+t^2}+t$ có $f^{\prime }(t)=\frac{t+\sqrt{1+t^2}}{\sqrt{1+t^2}}>0,\forall t\in \mathbb{R}$, nên $f(t)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$. Do đó $f(a-3)\le f(-\ln a)⟺a-3\le -\ln a⟺a+\ln a-3\le 0$. Vì $g(a)=a+\ln a-3$ đồng biến trên $(0;+\infty )$ và $g(2)=\ln 2-1<0<g(3)=\ln 3$, nên với $a\in {\mathbb{Z}}^{+}$ chỉ có $a\in \{1;2\}$ thỏa mãn (có $2$ giá trị).