Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):2x+y+2z-9=0$ và phương trình mặt cầu $(S):x^2+y^2+z^2-4x-6y-8z+4=0$ có tâm là $I$.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt cầu $(S):x^2+y^2+z^2-4x-6y-8z+4=0$ có tâm $I(2;3;4)$ và $R^2=2^2+3^2+4^2-4=25\Rightarrow R=5$. a) Sai vì bán kính là $R=5$ (số $25$ là $R^2$). b) Đường thẳng qua $I(2;3;4)$ vuông góc $(P)$ có VTCP $(2;1;2)$ nên phương trình là $\frac{x-2}{2}=\frac{y-3}{1}=\frac{z-4}{2}$, không phải $\frac{x}{2}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-2}{2}$ (điểm $(0;2;2)$ không thuộc đường thẳng đó) → Sai. c) $d(I,(P))=\frac{|2\cdot 2+3+2\cdot 4-9|}{\sqrt{4+1+4}}=\frac{6}{3}=2$, bán kính đường tròn giao tuyến $r=\sqrt{R^2-d^2}=\sqrt{25-4}=\sqrt{21}$ → Đúng. d) Tam giác $ABC$ vuông tại $B$ ($6^2+8^2=10^2$), bán kính đường tròn nội tiếp $r_{in}=\frac{6+8-10}{2}=2$. Khi các cạnh tam giác tiếp xúc với mặt cầu, giao tuyến giữa mặt cầu và mặt phẳng $(ABC)$ là đường tròn nội tiếp bán kính $2$, nên $d(I,(ABC))=\sqrt{R^2-r_{in}^2}=\sqrt{25-4}=\sqrt{21}$ → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tâm $I(2;3;4)$, $R=\sqrt{4+9+16-4}=5$, không phải $25$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Phương trình đúng là $\frac{x-2}{2}=\frac{y-3}{1}=\frac{z-4}{2}$ vì đường thẳng đi qua $I(2;3;4)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$d(I,(P))=2$, nên $r=\sqrt{25-4}=\sqrt{21}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tam giác vuông có bán kính nội tiếp $r=2$, suy ra $d(I,(ABC))=\sqrt{25-4}=\sqrt{21}$.