Một cổng chào của khu công nghệ cao có hình dạng là một parabol $(P)$ với chiều rộng chân cổng $AB=8$ (m) và chiều cao $SO=12$ (m) ($S$ là đỉnh). Trên mặt đất, người ta lấy một điểm $M$ nằm trên đoạn $AB$ sao cho $AM=2$ (m). Để trang trí, ban quản lý căng hai sợi dây: một dây đèn LED thẳng từ $M$ đến đỉnh $S$ và một sợi cáp thẳng từ $M$ đến điểm $N$ nằm trên cổng $(P)$ (điểm $N$ nằm khác phía với $A$ so với trục đối xứng của cổng và cách mặt đất 9m). Tính diện tích phần rèm vải xuyên sáng được thiết kế để che kín khoảng không gian giới hạn bởi dây đèn $MS$, sợi cáp $MN$ và cung parabol $SN$.

Cho hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi $\frac{1}{4}$ cung tròn của đường tròn tâm $O(0;0)$ và bán kính bằng $4$, parabol $(P)$ có tọa độ đỉnh $I(2;2)$ và đi qua gốc tọa độ $O$, các đường thẳng $x=0$, $x=4$ như hình vẽ bên dưới

Một công viên sinh thái muốn bố trí một mảnh vườn hoa nhỏ. Cụ thể bối cảnh của công viên đã được đo đạc như sau:
- Đường đi lát gạch chạy thẳng, lấy làm ranh giới của mảnh vườn.
- Hàng rào uốn cong có dạng là đồ thị parabol $y=x^2$, biết đồ thị parabol này tiếp xúc với đường đi tại đỉnh của nó.
- Ao cá có dạng là một hình tròn bán kính bằng 0,5 mét tiếp xúc với đường đi đồng thời có chung một điểm duy nhất với hàng rào. Khu vực vườn hoa nằm giữa hàng rào, lối đi và ao cá (phần gạch sọc trong hình minh hoạ). Hỏi diện tích mảnh vườn hoa đó bằng bao nhiêu mét vuông? (Mỗi đơn vị trên trục tương ứng 1m) *(làm tròn kết quả đến hàng phần mười)*

Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường $y=3x-2$, $y=x^2$, $x=-1$, $x=3$ được tính bởi

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=2x^2$, $y=\frac{2}{x}$, $x=4$, trục hoành.

Cho hai hàm số $y=f(x)$, $y=g(x)$ liên tục trên đoạn $[a;b]$. Diện tích $S$ của hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f(x)$, $y=g(x)$ và các đường thẳng $x=a;x=b(a<b)$ là

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=3x^2$, $y=\frac{3}{x}$, $x=5$, trục hoành.