Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(1;0;-3)$ và $B(2;3;-1)$. Gọi $(\beta )$ là mặt phẳng đi qua $A$, $B$ và vuông góc với mặt phẳng $(\alpha ):3x+4y+2z-1=0$. Một véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng $(\beta )$ là $\vec{n}=(-2;b;c)$. Tính giá trị của $T=b+c$.

Các nhà thầu đang xây dựng một bức tường leo núi tại góc tường của một phòng tập thể thao. Trong không gian $Oxyz$, các điểm $(x,y,z)$ được xác định so với điểm neo mặt đất $O(0;0;0)$ (đơn vị mét). Các thanh chống được đặt theo những đường thẳng, và có thể bỏ qua bề dày của thanh chống cũng như của bức tường leo núi. Ba thanh chống $S_1,S_2,S_3$ của bức tường đều xuất phát từ $O$ và lần lượt có vectơ chỉ phương $(1;0;0),(0;1;0),(0;0;1)$. Hai thanh $S_1$ và $S_2$ nằm trên mặt đất (tức là $z=0$). Các đỉnh $A,B,C$ của bức tường lần lượt nằm trên các thanh $S_1,S_2,S_3$. Bức tường nằm trên mặt phẳng $(P)$ có cặp véc tơ chỉ phương $\vec{u}=(2;3;-12)$, $\vec{v}=(1;2;-7)$ và đi qua điểm $M(1;5;-1)$.

Trong không gian $Oxyz$, cho $M(a;b;1)$ thuộc mặt phẳng $(P):2x-y+z-3=0$. Tính giá trị biểu thức $S=20a-10b$.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng có phương trình $2x+3y-4z+11=0$. Tọa độ véc tơ pháp tuyến của $(P)$ là

Trong không gian $Oxyz$, phương trình mặt phẳng đi qua điểm $M(-3;0;4)$ có véc tơ pháp tuyến $\vec{n}=(1;2;2)$ là

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$ ; $SA=a\sqrt{2}$ và $SA$ vuông góc với mặt đáy $(ABCD)$. Gọi $M$ ; $N$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của đỉnh $A$ lên các cạnh $SB$ và $SD$. Khi đó mặt phẳng $(AMN)$ cắt cạnh $SC$ tại $P$. Tỉ số $\frac{SP}{SC}$ bằng bao nhiêu?

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):x-4y+3z-12=0$. Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ là: