Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P)$ có phương trình $-x+6y+7z+34=0$. Mặt phẳng $(Q)$ đi qua điểm $M(3;3;-2)$ và song song với $(P)$ có phương trình dạng $-x+ay+bz+c=0$. Tính $a+b+c$.

Các nhà thầu đang xây dựng một bức tường leo núi tại góc tường của một phòng tập thể thao. Trong không gian $Oxyz$, các điểm $(x,y,z)$ được xác định so với điểm neo mặt đất $O(0;0;0)$ (đơn vị mét). Các thanh chống được đặt theo những đường thẳng, và có thể bỏ qua bề dày của thanh chống cũng như của bức tường leo núi. Ba thanh chống $S_1,S_2,S_3$ của bức tường đều xuất phát từ $O$ và lần lượt có vectơ chỉ phương $(1;0;0),(0;1;0),(0;0;1)$. Hai thanh $S_1$ và $S_2$ nằm trên mặt đất (tức là $z=0$). Các đỉnh $A,B,C$ của bức tường lần lượt nằm trên các thanh $S_1,S_2,S_3$. Bức tường nằm trên mặt phẳng $(P)$ có cặp véc tơ chỉ phương $\vec{u}=(2;3;-12)$, $\vec{v}=(1;2;-7)$ và đi qua điểm $M(1;5;-1)$.

Trong không gian $Oxyz$, phương trình mặt phẳng đi qua điểm $M(-3;0;4)$ có véc tơ pháp tuyến $\vec{n}=(1;2;2)$ là

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(\alpha )$ đi qua điểm $M(1;2;3)$ và cắt các trục $Ox$, $Oy$, $Oz$ lần lượt tại $A$, $B$, $C$ (khác gốc tọa độ $O$) sao cho $M$ là trực tâm tam giác $ABC$. Mặt phẳng $(\alpha )$ có phương trình dạng $ax+by+cz-14=0$. Tính tổng $T=a+b+c$.

Trong không gian $Oxyz$, phương trình tổng quát của mặt phẳng $(\alpha )$ đi qua điểm $B(3,4,-1)$ và có cặp vecto chỉ phương $\vec{a}=(3,1,-1)$, $\vec{b}=(1,-2,1)$ là:

Trong không gian $Oxyz$, mặt phẳng đi qua điểm $A(1;-2;2)$ và có véc-tơ pháp tuyến $\vec{n}=(3;-1;-2)$ có phương trình là

Trong không gian $Oxyz$, phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $A(1;2;-3)$ và chứa trục $Ox$ có dạng $ax+3y+cz+d=0$. Khi đó giá trị của biểu thức $2a+3c-d$ là bao nhiêu?