Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\frac{x+1}{1}=\frac{y+2}{1}=\frac{z-1}{1}$ và mặt cầu $(S):x^2+y^2+z^2-2x-4y+6z-13=0$. Lấy điểm $M(a;b;c)$ với $a<0$ thuộc đường thẳng $d$ sao cho từ $M$ kẻ được ba tiếp tuyến $MA,MB,MC$ đến mặt cầu $(S)$ ($A,B,C$ là tiếp điểm) thỏa mãn góc $\widehat{AMB}=60^{\circ },\widehat{BMC}=90^{\circ },\widehat{CMA}=120^{\circ }$. Phương trình mặt phẳng $(ABC)$ là:

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):x^2+(y-2{)}^2+(z+1{)}^2=6$. Đường kính của $(S)$ bằng

Câu 8. Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S)$ có tâm $I(0;-2;1)$ và bán kính $R=5$. Phương trình của $(S)$ là

Câu 6. Trong không gian $Oxyz$ (đơn vị $\text{km}$), Trái đất được mô phỏng là mặt cầu tâm $O$ bán kính $R=6400$ và đường xích đạo được xem là đường tròn giao tuyến giữa mặt cầu mô phỏng trái đất và mặt phẳng $(Oxy)$. Tại Bắc Cực $I(0;0;6400)$, Bộ chỉ huy thiết lập một "Vòm An Ninh". Vùng an toàn này là một mặt cầu tâm $I$ có bán kính quét là $R_q=1280\sqrt{10}$. Bất kỳ tàu nào đi vào biên giới của vùng này sẽ được bảo vệ tuyệt đối. Siêu điệp viên Alpha đang ẩn náu tại tọa độ $M(0;5120;3840)$. Anh nhận được mật lệnh: "Phải di chuyển từ vị trí hiện tại xuống đường Xích đạo để kích hoạt thiết bị định vị, sau đó lập tức rút lui về ranh giới Vòm An Ninh tại điểm nhập $K$ theo lộ trình ngắn nhất để tẩu thoát." Biết vận tốc di chuyển của Alpha là $v_A=60\text{ km/h}$. Cùng lúc đó, tàu truy kích Beta đang phục kích tại vị trí $N(0;-6400;0)$. Ngay khi Alpha xuất phát, Beta tính toán được chính xác điểm $K$ và lao đến đó để chặn đầu. Tàu Beta phải duy trì vận tốc tối thiểu là bao nhiêu $\text{km/h}$ để có thể chặn đầu Alpha trước lúc điệp viên này vào ranh giới an toàn? (Xem vận tốc của Alpha và Beta là chuyển động đều và hai tàu di chuyển trên mặt của khối cầu. Làm tròn kết quả đến hàng phần chục).

Trong không gian $Oxyz$, mặt cầu $(S):(x+2{)}^2+y^2+(z+1{)}^2=3$ có tâm là

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S)$ có phương trình $(S):x^2+y^2+z^2-2x+4y-6z-2=0$ và mặt phẳng $(P):x+2y+2z+3=0$.

Tại khu bảo tồn biển Hòn Mun, Viện Hải dương học thiết lập một trạm nghiên cứu ngầm mang hình dáng một khối cầu bảo vệ $(S)$. Trong hệ tọa độ $Oxyz$ (đơn vị: chục mét), mặt cầu $(S)$ có phương trình: $(S):(x-1{)}^2+(y-1{)}^2+(z-1{)}^2=9$. Hai trạm thu phát tín hiệu phụ được neo cố định dưới đáy biển tại các vị trí $A(7;7;7)$ và $B(4;4;1)$. Để kết nối mạng lưới, các kỹ sư cần khoan một cổng kết nối cáp quang tại vị trí $M$ nằm trên bề mặt khối cầu bảo vệ $(S)$ để kéo cáp đến $A$ và $B$. Do yêu cầu về băng thông của trạm $B$ cao gấp đôi trạm $A$, nên tổng chi phí lắp đặt và độ suy hao tín hiệu $P$ được mô hình hóa theo công thức: $P=M{A}^2+2M{B}^2$. Tính giá trị nhỏ nhất của $P$.