Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A(0;1;2)$ và đường thẳng $d:\frac{x-4}{2}=\frac{y-2}{-1}=\frac{z-1}{-2}$. Gọi $(P)$ là mặt phẳng chứa $d$ và cách $A$ một khoảng lớn nhất. Khoảng cách từ điểm $M(5;-1;3)$ đến $(P)$ bằng

Gọi $H,K$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A$ lên mặt phẳng $(P)$ và đường thẳng $d$. Ta có $d(A,(P))=AH\le AK$, dấu “$=$” xảy ra khi $H\equiv K$, tức $AK\perp (P)$ tại $K$.

Tìm hình chiếu $K$ của $A(0;1;2)$ trên $d$: $K(4+2t;2-t;1-2t)$ thỏa mãn $\overrightarrow{AK}\cdot {\vec{u}}_d=0\iff t=-1\Rightarrow K(2;3;3)$ và $\overrightarrow{AK}=(2;2;1)$.

Suy ra phương trình $(P):2(x-2)+2(y-3)+1(z-3)=0\iff 2x+2y+z-13=0$.

Vậy $d(M,(P))=\frac{|2\cdot 5+2(-1)+3-13|}{\sqrt{2^2+2^2+1^2}}=\frac{2}{3}$.