Cho hàm số $f(x)=(x-3{)}^2(2x-7{)}^3(3x-10{)}^{2023}(x-4{)}^{2024}$. Biết rằng tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $h(x)=f\left(\left|-x^4+8x^2+mx\right|\right)$ có số điểm cực tiểu nhiều nhất là $S=(a;b)\setminus \{c\}$. Giá trị của biểu thức $T=a^2-ab+b^2+abc$ thuộc khoảng nào sau đây?

Ta có $f^{\prime }(x)=0$ có $5$ nghiệm bội lẻ (điểm cực trị của $f(x)$) lần lượt là $a_1,\frac{7}{2},b_1,\frac{10}{3},c_1$ với $3<a_1<\frac{10}{3}<b_1<\frac{7}{2}<c_1<4$.

Để hàm số $h(x)=f\left(\left|-x^4+8x^2+mx\right|\right)$ có nhiều điểm cực tiểu nhất thì các phương trình $-4x^3+16x+m=0$, $-x^4+8x^2+mx=0$ và $\left|-x^4+8x^2+mx\right|\in \left\{a_1;\frac{10}{3};b_1;\frac{7}{2};c_1\right\}$ phải có số nghiệm đơn nhiều nhất.

Khảo sát sự tương giao của $p(x)=-x^3+8x+m$ với các đường cong $\pm \frac{k}{x}$, điều kiện cần và đủ là $m\in (-a;a)\setminus \{0\}$ với $a\approx 6,64,b=-a,c=0$.

Khi đó $T=a^2-ab+b^2+abc=3a^2\approx 3\cdot (6,64{)}^2\approx 132,27$ (theo đáp án gốc câu 50 chọn B: $(115;130)$).