Trong không gian hệ toạ độ $Oxyz$, cho hình bình hành $ABCD$ biết $A(1;-4;2)$, $B(4;2;-3)$, $C(-3;-1;4)$, $\overrightarrow{OD}=a\vec{i}+b\vec{j}+c\vec{k}$. Giá trị của $a+b+c$ bằng bao nhiêu?

Cho hình chóp $O.ABC$ có $OA=OB=OC=1$, $\widehat{AOB}=\widehat{BOC}=90^0$ và $\widehat{AOC}=60^0$. Tính tích vô hướng $\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{BC}$.

Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có cạnh bằng 3. Gọi $M$ là điểm nằm trên cạnh $B^{\prime }D$ sao cho $B^{\prime }M=\frac{1}{3}{B}^{\prime }D$. Gắn hệ trục tọa độ $Oxyz$ sao cho đỉnh $A$ trùng với gốc tọa độ $O$ và các đỉnh $B,D,A^{\prime }$ lần lượt thuộc các tia $Ox,Oy,Oz$.

Một người đứng ở mặt đất điều khiển hai flycam để phục vụ quay hình một chương trình của đài truyền hình. Lúc 9 giờ, flycam thứ nhất ở vị trí $A$ cách vị trí điều khiển $250m$ về phía nam và $180m$ về phía đông, đồng thời cách mặt đất $60m$; còn flycam thứ hai ở vị trí $B$ cách vị trí điều khiển $150m$ về phía bắc và $200m$ về phía tây, đồng thời cách mặt đất $70m$. Lúc 9 giờ 30 phút, người đó điều khiển flycam thứ hai lên cao $30m$, đồng thời người đó di chuyển theo hướng nam đến vị trí mới $D$ cách đều vị trí của hai flycam 1 và 2. Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ với gốc tọa độ $O$ là vị trí của người điều khiển lúc 9 giờ, mặt phẳng $(Oxy)$ trùng với mặt đất với trục $Ox$ có hướng trùng với hướng nam, trục $Oy$ có hướng trùng với hướng đông và trục $Oz$ vuông góc với mặt đất hướng lên bầu trời, đơn vị trên mỗi trục tính theo mét.

Hai khinh khí cầu cùng bay lên từ một địa điểm. Lúc 10 giờ sáng, khinh khí cầu thứ nhất ở vị trí $A$ cách điểm xuất phát $2,3km$ về phía bắc và $1,8km$ về phía đông, đồng thời cách mặt đất $0,6km$; còn khinh khí cầu thứ hai ở vị trí $B$ cách điểm xuất phát $1,7km$ về phía nam và $2,8km$ về phía tây, đồng thời cách mặt đất $0,8km$. Người ta cần tìm một vị trí $M$ trên mặt đất để tiếp nhiên liệu cho hai khinh khí cầu sao cho tổng khoảng cách từ vị trí đó tới hai khinh khí cầu nhỏ nhất. Tính khoảng cách từ vị trí $M$ đến điểm xuất phát (kết quả làm tròn đến hàng phần chục theo đơn vị ki – lô – mét).
[Hình cần kiểm tra lại: p17_f2]

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho vectơ $\vec{a}=(3;-4;0)$. Biết rằng vectơ $\vec{c}$ là vectơ cùng hướng với $\vec{a}$ và $\left|\vec{c}\right|=10$. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho tam giác $ABC$ có $A(1;3;2),B(0;-1;5)$ và $C(2;4;-1)$. Tọa độ trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$ là