Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho các điểm $A(4;2;-1),B(1;-1;2)$ và $C(0;-2;3)$ và $M$ là trung điểm của đoạn thẳng $BC$. Giả sử $N$ thuộc mặt phẳng $(Oxy)$:

(AI giải đề cho tôi)
M là trung điểm BC nên $\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\vec{0}$ (a đúng). Với G trọng tâm tam giác ABC: $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\vec{0}$; vì $\overrightarrow{GN}=\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{CN}$, cộng vế theo vế được $3\overrightarrow{GN}=\overrightarrow{AN}+\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{CN}$ (b đúng). $\overrightarrow{AB}=(-3;-3;3)$ nên $|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{9+9+9}=3\sqrt{3}\ne 2\sqrt{3}$ (c sai). N thuộc (Oxy) có dạng $(x;y;0)$; $\overrightarrow{AN}=(x-4;y+2;1)$, $\overrightarrow{AB}=(-3;-3;3)$; thẳng hàng khi $\overrightarrow{AN}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$ cho $x=3,y=1$, tức $N(3;1;0)$ (d đúng).
a) (AI giải đề cho tôi)
M là trung điểm BC nên $\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\vec{0}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\vec{0}$ và $\overrightarrow{GN}=\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{CN}$, cộng lại được $3\overrightarrow{GN}=\overrightarrow{AN}+\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{CN}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}=(-3;-3;3)$, $|\overrightarrow{AB}|=3\sqrt{3}\ne 2\sqrt{3}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
N thuộc (Oxy): $N(x;y;0)$. $\overrightarrow{AN}=(x-4;y+2;1)=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}=(-1;-1;1)$ cho $x=3,y=1$, tức $N(3;1;0)$.