Trong không gian, cho hình chữ nhật $ABCD$ có $AD=2$ và $AB=1$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AD$ và $BC$. Quay hình chữ nhật đó xung quanh trục $MN$, ta được một hình trụ. Tính diện tích toàn phần của hình trụ đó.

Cho hình phẳng $(H)$ được giới hạn bởi hai đồ thị $y=x^2+x$ và $y=2x$. Quay hình $(H)$ quanh trục hoành, tính thể tích vật thể thu được.

Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm cấp hai liên tục trên $\mathbb{R}$, biết rằng $f(0)=0$ và hàm số $g(x)=\frac{1}{16}[x{f}^{\prime \prime }(x)+f^{\prime }(x)]$ là hàm số bậc ba có đồ thị như hình vẽ.


Thể tích khối tròn xoay sinh bởi hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số $y=f(x),y=\frac{f^{\prime \prime }(x)-40}{12}$ khi quay quanh trục $Ox$ có giá trị nằm trong khoảng nào sau đây?

Người ta sản xuất thùng phuy sắt có hình dạng là một hình trụ (có nắp đậy kín) bằng cách cán và gò các tấm thép có độ dày $1\text{ mm}$, biết chiều cao của thùng phuy là $876\text{ mm}$, đường kính ngoài của thùng phuy là $580\text{ mm}$ và khối lượng riêng của thép là $7850{\text{ kg/m}}^3$. Hỏi mỗi thùng phuy nặng khoảng bao nhiêu kg (tính gần đúng sau dấu phẩy đến 2 chữ số thập phân)?


Cần bao nhiêu thuỷ tinh để làm một chiếc cốc hình trụ có chiều cao bằng $12\text{ cm}$, đường kính đáy bằng $9,6\text{ cm}$ (tính từ mép ngoài cốc), đáy cốc dày $1,8\text{ cm}$, thành xung quanh cốc dày $0,24\text{ cm}$ (tính gần đúng đến hai chữ số thập phân)?

Cho hình vuông $ABCD$ có độ dài cạnh bằng 4 dm, trong đó $(H)$ là phần được tô màu đậm có đường biên cong là một phần của parabol $(P)$. Biết rằng khoảng cách từ đỉnh của $(P)$ đến hai đường thẳng $AB,BC$ lần lượt là 2 dm và 1 dm, đồng thời $(P)$ đi qua hai đỉnh $A$ và $D$ của hình vuông (xem hình minh họa).

Người ta cần sản xuất một sản phẩm là vật thể tròn xoay sinh ra khi quay $(H)$ quanh đường thẳng $BC$. Hỏi thể tích vật thể đó là bao nhiêu đề-xi-mét khối (làm tròn kết quả đến hàng phần chục)?

Khi cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ là $x$ ($0\le x\le 3$), ta được mặt cắt là một hình vuông có cạnh là $\sqrt{9-x^2}$ (được mô hình hóa bởi hình vẽ bên dưới). Thể tích của vật thể đó bằng