Trong không gian, cho hai vectơ $\overrightarrow{AB}=(-2;3;-4)$ và $\overrightarrow{DA}=(0;-1;2)$. Tính bình phương độ dài đường chéo $AC$ của hình bình hành $ABCD$.

Xét một hệ trục tọa độ $Oxyz$, đơn vị độ dài trên mỗi trục là 100 mét. Có hai tổ công nhân đồng thời đào đường hầm xuyên núi. Tổ thứ nhất bắt đầu đào từ vị trí điểm $A(5;7;10)$, đi thẳng xuyên qua vị trí điểm $B(6;9;12)$ với tốc độ đào không đổi là 12 mét/ngày. Cùng thời điểm đó, tổ thứ hai bắt đầu đào một đường hầm khác, xuất phát từ vị trí điểm $C(4;17;12)$ và cũng đào theo đường thẳng với tốc độ đào không đổi. Mục tiêu đặt ra là hai đường hầm này sẽ gặp nhau tại vị trí điểm $E$ cách vị trí điểm $A$ một khoảng bằng 1,5 kilômét. Để cả hai tổ công nhân đồng thời đào đến vị trí điểm $E$ trong cùng một thời điểm thì tốc độ đào hầm của tổ thứ hai bằng bao nhiêu mét/ngày?

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A(3;7;-4)$, $B(-5;4;4)$ và vectơ $\vec{u}=(0;-2;1)$. Các điểm $M$, $N$ thay đổi trên mặt phẳng $(Oyz)$ sao cho $\overrightarrow{MN}$ cùng hướng với $\vec{u}$ và $MN=5\sqrt{5}$. Tìm giá trị lớn nhất của $\left|AM-BN\right|$.

Bài 6. (4,0 điểm)
1. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho các điểm $A(1;2;3)$, $B(-1;1;0)$, $C(3;0;-6)$. Tìm tọa độ điểm $M\in (Oxy)$ sao cho $\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|$ nhỏ nhất.
2. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ cho trước, mặt phẳng $(Oxy)$ là mặt đất, tia $Oz$ hướng lên trên, đơn vị trên mỗi trục là mét, một chiếc drone (thiết bị bay điều khiển từ xa) xuất phát từ gốc tọa độ $O$ chuyển động thẳng đều theo hướng hợp với các tia $Ox$, $Oy$ các góc tương ứng $45^{\circ }$, $120^{\circ }$ với tốc độ $15m/s$. Tìm tọa độ của chiếc drone đó sau một phút chuyển động.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, một cabin cáp treo ở Bà Nà Hill xuất phát từ điểm $A(-2;1;5)$ và chuyển động đều theo đường cáp có vecto chỉ phương là $\vec{u}=(0;-2;6)$ với tốc độ là 4 m/s (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét). Giả sử sau 5 (s) kể từ lúc xuất phát, cabin đến điểm $M$. Gọi tọa độ của điểm $M(a;b;c)$. Tính $a+3b+c$.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, một cabin cáp treo xuất phát từ điểm $A(10;3;0)$ và chuyển động đều theo đường cáp đến điểm $B(550;-537;270)$ (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét). Khi cáp chuyển động đến điểm $M$ có cao độ 200m. Tính độ dài quãng đường $AM$.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm $M(-1;3;-4)$. Hình chiếu vuông góc của M trên trục Oz là điểm $M^{\prime }$. Khi đó tọa độ điểm $M^{\prime }$ là