Trong kg Oxyz, cho điểm $M(1;-1;2),N(3;1;4)$. Viết PT mặt cầu (S) có đường kính MN.

Trong không gian $Oxyz$, cho các điểm $A(0;0;3)$ và $B(2;-3;-5)$. Gọi $(P)$ là mặt phẳng chứa đường tròn giao tuyến của hai mặt cầu $(S_1):(x-1{)}^2+(y-1{)}^2+(z+3{)}^2=25$ và $(S_2):x^2+y^2+z^2-2x-2y-14=0$. Gọi $M$, $N$ là hai điểm thuộc $(P)$ sao cho $MN=1$. Biết giá trị nhỏ nhất của $AM+BN$ có dạng $\sqrt{a-b\sqrt{c}}$ $(a,b,c\in \mathbb{N}$ và $c$ là số nguyên tố$)$. Tính $a+b+c$

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho mặt cầu $(S):(x-1{)}^2+(y-2{)}^2+(x-3{)}^2=\frac{14}{3}$ và đường thẳng $d:\frac{x-4}{3}=\frac{y-4}{2}=\frac{z-4}{1}$. Gọi $A(x_0;y_0;z_0)(x_0>0)$ là điểm nằm trên đường thẳng $d$ sao cho từ $A$ kẻ được ba tiếp tuyến đến mặt cầu $(S)$ và các tiếp điểm $B,C,D$ sao cho $ABCD$ là tứ diện đều . Tính giá trị của $P=x_0+y_0+z_0$ .

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):x^2+y^2+z^2-2x+2z+1=0$ và đường thẳng $d:\frac{x}{1}=\frac{y-2}{1}=\frac{z}{-1}$. Hai mặt phẳng $(P)$, $(P^{\prime })$ chứa $d$ và tiếp xúc với $(S)$ tại $T$, $T^{\prime }$. Tìm tọa độ trung điểm $H$ của $T{T}^{\prime }$.

Hải đăng là một ngọn tháp (nhà hoặc khung) được thiết kế để chiếu sáng từ một hệ thống đèn và thấu kính, hoặc thời xưa là chiếu sáng bằng lửa, với mục đích hỗ trợ cho các hoa tiêu trên biển định hướng và tìm đường. Vào năm 293 trước Công nguyên, ngọn hải đăng đầu tiên đã được người Phoenicia xây dựng trên hòn đảo Pharos tại Alexandria. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ (đơn vị trên mỗi trục là một mét), coi một phần mặt biển được khảo sát là mặt phẳng $(Oxy)$, trục $Oz$ hướng lên trên vuông góc với mặt biển, một ngọn hải đăng đỉnh cao 50 mét so với mực nước biển, biết đỉnh ở vị trí $I(21;35;50)$ và ngọn hải đăng này được thiết kế với bán kính phủ sáng là $4km$.

Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A(1;2;1)$, $B(3;-1;1)$ và $C(-1;-1;1)$. Gọi $(S_1)$ là mặt cầu có tâm $A$, bán kính bằng 2 ; $(S_2)$ và $(S_3)$ là hai mặt cầu có tâm lần lượt là $B$, $C$ và bán kính đều bằng 1. Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng tiếp xúc với cả ba mặt cầu $(S_1)$, $(S_2)$, $(S_3)$.

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hệ phương trình $$\{\begin{array}{l}(x-2{)}^2+(y+1{)}^2+(z+2{)}^2=4\\ 4x-3y-m=0\end{array}$$ có đúng một nghiệm.