Trong dịp lễ 30-4 và 1-5 thì một nhóm các em thiếu niên tham gia trò chơi “Ném vòng cổ chai lấy thưởng”. Mỗi em được ném tối đa 3 vòng. Xác suất ném vào cổ chai lần đầu là 0,75. Nếu ném trượt lần đầu thì được ném vòng 2, xác suất ném vào cổ chai lần thứ hai là 0,6. Nếu ném trượt cả lần 1 và lần 2 thì được ném vòng 3, xác suất ném vào cổ chai ở lần thứ ba (lần cuối) là 0,3. Chọn ngẫu nhiên một em trong nhóm chơi. Tính xác suất để em đó ném vào đúng cổ chai. (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Một thành phố có ba loại phương tiện giao thông công cộng: xe buýt, tàu điện ngầm và taxi. Tỉ lệ sử dụng mỗi loại phương tiện đối với xe buýt $40\%$, tàu điện ngầm $35\%$, taxi $25\%$. Tỉ lệ trễ giờ của xe buýt, tàu điện ngầm và taxi trong một tháng lần lượt là: $20\%,10\%,5\%$. Anh Lộc là một người dân trong thành phố.

Trong tháng đầu tiên, anh Lộc chọn một trong ba loại phương tiện trên để đi làm, sao cho xác suất chọn mỗi loại phương tiện đúng bằng tỉ lệ sử dụng phương tiện đó của người dân trong thành phố. Từ tháng thứ hai trở đi, cách anh Lộc chọn phương tiện đi làm phụ thuộc vào việc anh có bị trễ giờ trong tháng trước hay không:

Nếu tháng trước anh Lộc không bị trễ giờ: Anh ấy tiếp tục sử dụng loại phương tiện mà anh đã đi trong tháng đó. Nếu tháng trước anh Lộc bị trễ giờ: Anh ấy sẽ chọn ngẫu nhiên một trong hai loại phương tiện còn lại để đi làm trong tháng tiếp theo, với xác suất chọn mỗi loại là $50\%$. Xác suất để anh Lộc sử dụng taxi trong tháng thứ ba có dạng $\frac{a}{b}$ (là phân số tối giản). Tính $b-2a$ ?

Ở một thành phố mà Anh A sinh sống có tỉ lệ mưa là chiếm 1/3 trong một ngày. Biết rằng nếu trời mưa, khả năng có kẹt xe là 50%; và nếu không mưa, khả năng có kẹt xe là 25%. Nếu trời mưa và có kẹt xe, khả năng anh A đi làm muộn là 50%. Ngược lại, nếu không mưa và không có kẹt xe, xác suất anh A đi làm muộn giảm xuống còn 12,5%. Biết rằng trong các tình huống khác (trời mưa nhưng không kẹt xe, không mưa nhưng có kẹt xe), xác suất anh A đi làm muộn là 0.25.

Một con rô bốt hút bụi thông minh tự động di chuyển giữa 3 vị trí được đánh số $A,B,C$ trong một phòng trưng bày, nếu đang ở vị trí này thì sau đúng 1 phút, nó sẽ ở vị trí khác, theo quy tắc xác suất sau: Nếu đang ở vị trí $A$, rô bốt sẽ sang vị trí $B$ hoặc vị trí $C$ với xác suất đều bằng 0,5. Nếu đang ở vị trí $B$, xác suất sang vị trí $A$ là 0,6 và sang vị trí $C$ là 0,4. Nếu đang ở vị trí $C$, xác suất sang vị trí $A$ là 0,8 và sang vị trí $B$ là 0,2. Ban đầu, tại thời điểm ban đầu $t=0$ (phút), rô bốt đang ở vị trí $A$.

Hộp thứ nhất chứa 3 bút màu đen và 2 bút màu xanh. Hộp thứ hai chứa 4 màu đen và 5 bút màu xanh. Các bút có cùng kích thước và khối lượng. Bạn An lấy ra ngẫu nhiên 1 bút từ hộp thứ nhất chuyển sang hộp thứ hai, sau đó lại lấy ra ngẫu nhiên bút từ hộp thứ hai. Tính xác suất để bạn An lấy được hai bút cùng màu.

Hộ thứ nhất có 6 viên bi xanh và 9 viên bi đỏ. Hộ thứ hai có 8 viên bi xanh và 10 viên bi đỏ. Các viên bi có cùng kích thước và khối lượng. Lấy ra ngẫu nhiên 1 viên bi từ hộ thứ nhất chuyển sang hộ thứ hai. Sau đó lại lấy ra ngẫu nhiên 1 viên bi từ hộ thứ hai. Tính xác suất của các biến cố hai viên bi lấy ra khác màu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Hai bạn An, Bình cùng ném bóng rổ. Mỗi lần chỉ có một người ném với quy tắc như sau: Nếu ném trúng thì người đó sẽ ném tiếp, nếu ném trượt thì đến lượt người kia ném. Ở mọi lần ném bóng, xác suất An ném trúng đều là $0,4$ và xác suất Bình ném trúng đều là $0,6$. Hai bạn rút thăm để quyết định người ném bóng đầu tiên. Xác suất người được ném đầu tiên là An và xác suất người được ném đầu tiên là Bình cùng bằng $0,5$. Tìm xác suất để người ném bóng lần thứ 2 là Bình.