Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang vuông tại $A,B$, $AD=2AB=2BC=2a$, $SA$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$ và $SA=a\sqrt{3}$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $A(0;0;0)$, $B(a;0;0)$, $D(0;2a;0)$, $C(a;a;0)$, $S(0;0;a\sqrt{3})$ (vì $AB=a$, $AD=2a$, $BC=a$, $AD\parallel BC$, góc vuông tại $A,B$).
a) $BC\perp AB$ (đáy) và $BC\perp SA$ ($SA\perp (ABCD)$) nên $BC\perp (SAB)$. Đúng.
b) $SD=\sqrt{A{D}^2+S{A}^2}=\sqrt{4a^2+3a^2}=a\sqrt{7}$. Góc giữa $SD$ và $(ABCD)$ là $\widehat{SDA}$, $\sin =\frac{SA}{SD}=\frac{a\sqrt{3}}{a\sqrt{7}}=\frac{\sqrt{21}}{7}$. Đúng.
c) $\overrightarrow{SC}=(a;a;-a\sqrt{3})$, $\overrightarrow{BD}=(-a;2a;0)$, tích vô hướng $=-a^2+2a^2=a^2\ne 0$ nên $SC$ không vuông góc $BD$. Sai.
d) $\overrightarrow{DC}=(a;-a;0)\perp \overrightarrow{AC}=(a;a;0)$ và $DC\perp SA$ nên $DC\perp (SAC)$, chân đường vuông góc từ $D$ xuống $(SAC)$ là $C$, $DC=a\sqrt{2}$, $SH=\sqrt{S{D}^2-D{C}^2}=\sqrt{7a^2-2a^2}=a\sqrt{5}$. Góc giữa $SD$ và $(SAC)$: $\tan =\frac{DC}{S{C}^{\prime }}=\frac{a\sqrt{2}}{a\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{10}}{5}\ne \frac{\sqrt{10}}{2}$. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$BC\perp AB$ và $BC\perp SA$ nên $BC\perp (SAB)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$SD=a\sqrt{7}$, $\sin \widehat{SDA}=\frac{SA}{SD}=\frac{\sqrt{21}}{7}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{SC}\cdot \overrightarrow{BD}=a^2\ne 0$ nên $SC$ không vuông góc $BD$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Khoảng cách từ $D$ đến $(SAC)$ là $DC=a\sqrt{2}$, $\tan =\frac{\sqrt{10}}{5}\ne \frac{\sqrt{10}}{2}$.