Tốc độ thay đổi của số lượng vi khuẩn trong 1 ml nước ở hồ bơi X tại thời điểm $t$ (ngày) kể từ lúc hồ nước được xử lý được mô hình bởi hàm số $f(t)=\frac{1000}{(1+0,2t{)}^2}$ (con/ngày), $t\ge 0$. Biết rằng số lượng vi khuẩn ban đầu là 500 con trên mỗi ml nước và mức độ an toàn cho người sử dụng hồ bơi là số vi khuẩn phải dưới 3000 con trên mỗi ml nước. Hỏi sau bao nhiêu ngày thì người ta phải xử lí và thay nước mới cho hồ bơi.

Một hạt chuyển động trên một đường thẳng có gắn một trục tọa độ với gốc tọa độ là vị trí hạt bắt đầu chuyển động. Tọa độ của hạt trên trục tại thời điểm $t$ (đơn vị: giây) kể từ khi xuất phát được cho bởi công thức $x(t)=2t-3\ln (t+1)$ (đơn vị: mét), $t\ge 0$. Hàm số $v(t)=x^{\prime }(t)$ (đơn vị: mét/giây) biểu thị vận tốc chuyển động của hạt.

Một vật chuyển động trong 4 giờ với vận tốc $v$ (km/h) phụ thuộc thời gian $t$ (h) có đồ thị của vận tốc như hình bên. Trong khoảng thời gian 2 giờ kể từ khi bắt đầu chuyển động, đồ thị đó là một phần của đường parabol có đỉnh $I(2;7)$ và trục đối xứng của parabol song song với trục tung, khoảng thời gian còn lại đồ thị là đoạn thẳng $IA$. Tính quãng đường $s$ mà vật di chuyển được trong 4 giờ đó (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Một xe ô tô đang chạy với vận tốc 72 km/h thì người lái xe bất ngờ phát hiện chướng ngại vật trên đường cách đó 50 m. Người lái xe phải xử lý mất 2 giây mới đưa ra được quyết định đạp phanh khẩn cấp. Kể từ thời điểm này, ô tô chuyển động chậm dần đều với tốc độ $v(t)=-10t+20$ (m/s), trong đó $t$ là thời gian tính bằng giây kể từ lúc đạp phanh. Gọi $s(t)$ là quãng đường xe ô tô đi được trong $t$ (giây) kể từ lúc đạp phanh.

Cho một vật chuyển động với gia tốc $a(t)=-20\cos (2t)$ (${\text{m/s}}^2$). Biết vận tốc của vật vào thời điểm $t=0$ là $10\text{ m/s}$. Tính quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian từ $t=0$ đến $t=\pi$ giây.

Một ô tô đang chạy với tốc độ $72\text{ km/h}$ thì người lái xe bất ngờ phát hiện chướng ngại vật trên đường. Người lái xe phản ứng một giây sau đó bằng cách đạp phanh khẩn cấp. Kể từ thời điểm này, ô tô chuyển động chậm dần đều với tốc độ $v(t)=-10t+30\text{ (m/s)}$, trong đó $t$ là thời gian tính bằng giây kể từ lúc đạp phanh. Gọi $s(t)$ là quãng đường xe ô tô đi được trong $t$ (giây) kể từ lúc đạp phanh.

Người ta truyền nhiệt cho một bình nuôi cấy vi sinh vật từ $1^{\circ }\text{C}$. Tốc độ tăng nhiệt độ của bình tại thời điểm $t$ phút ($0\le t\le 5$) được cho bởi hàm số $f(t)=3t^2$ (${}^{\circ }\text{C}$/phút). Biết rằng nhiệt độ của bình đó tại thời điểm $t$ là một nguyên hàm của hàm số $f(t)$. Tìm nhiệt độ của bình tại thời điểm $3$ phút kể từ khi truyền nhiệt.