Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong $y=x^3-2x$ và $y=x^2$ (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm )

Câu 5: Cho hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi một phần đồ thị Parabol $(P)$ và đoạn thẳng $AB$. Biết $AB=8$ và khoảng cách từ đỉnh $(P)$ đến $AB$ bằng 2. Lấy hai điểm $C$ và $D$ nằm trên $(P)$ sao cho $CD$ song song với $AB$. Gọi $S_1$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $(P)$ và $CD$; $S_2$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $(P)$, $CD$ và $AB$ (tham khảo hình vẽ). Biết $S_1=S_2$, tính độ dài đoạn thẳng $CD$ (kết quả làm tròn đến hàng phần chục).

Để chuẩn bị quà tặng sinh nhật đặc biệt cho các thành viên trong câu lạc bộ nghệ thuật, người ta đặt hàng chế tác một vật phẩm chặn giấy bằng hợp kim cao cấp. Bề mặt của vật phẩm có dạng hai hình elip bằng nhau xếp chồng lên nhau. Biết mỗi elip có độ dài trục lớn bằng $8\text{ cm}$, độ dài trục nhỏ bằng $\frac{8}{\sqrt{3}}\text{ cm}$; trục lớn của elip này vuông góc với trục lớn của elip kia tại giao điểm $O$ của chúng. Đường tròn $(O)$ đi qua các giao điểm của hai elip được vẽ lên bề mặt để phân chia các khu vực trang trí (như hình vẽ).

Phần lõi bên trong đường tròn được dát đồng để khắc tên và lời chúc sinh nhật với chi phí $5.000{\text{ đoˆˋng/cm}}^2$. Các phần cánh hoa nằm phía ngoài đường tròn được đính đá Sapphire nhân tạo với chi phí $15.000{\text{ đoˆˋng/cm}}^2$. Hỏi tổng chi phí nguyên vật liệu để chế tác một vật phẩm quà tặng này là bao nhiêu nghìn đồng? (Không làm tròn các kết quả trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng đơn vị).

Câu 1. Hình vẽ dưới đây cho biết một miền $D$ (được tô đậm) nằm trong hình vuông cạnh bằng 4. Miền $D$ này gồm những điểm có khoảng cách tới tâm hình vuông không lớn hơn khoảng cách tới cạnh gần nhất của hình vuông. Tính diện tích miền $D$ (kết quả làm tròn đến hàng phần mười).

Tính diện tích $S$ của hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi các đường cong $y=-x^3+12x$ và $y=-x^2$.

Câu 6. Mẫu gạch lát nền nhà được thiết kế có dạng hình vuông cạnh $4\text{ dm}$, bốn góc viên gạch màu trắng, phần ở giữa sẫm màu (hình bên). Đường viền của phần sẫm màu bao gồm bốn đoạn thẳng nằm trên các cạnh hình vuông và bốn đường cong có tính chất: tích khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc đường cong đó đến hai trục đối xứng của viên gạch bằng $2{\text{ dm}}^2$. Tính diện tích phần sẫm màu (đơn vị: decimét vuông) (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

Cho hai hàm số $f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx-5$ và $g(x)=d{x}^2+ex+1$ ($a,b,c,d,e\in \mathbb{R}$). Biết rằng đồ thị hàm số $y=f(x)$ và $y=g(x)$ cắt nhau tại 3 điểm có hoành độ lần lượt là $-3,-1,1$ (tham khảo hình vẽ):


Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị đã cho (miền gạch chéo) có diện tích bằng