Một vật chuyển động với vận tốc $10\text{ m/s}$ thì tăng tốc với gia tốc $a(t)=3t+t^2$. Quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian $10$ giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc bằng $\frac{a}{b}$. Tính $a+b$.

Câu 3: Một hạt proton chuyển động trong điện trường từ điểm $A(2;1;5)$ (đơn vị mm) theo một đường thẳng hướng lên trên. Hướng chuyển động của hạt tạo với mặt phẳng $(Oxy)$ một góc $30^{\circ }$. Biết hình chiếu vuông góc của hướng chuyển động lên mặt phẳng $(Oxy)$ hợp với trục $Ox$ một góc $45^{\circ }$. Vận tốc của hạt tại thời điểm $t$ (giây) là $v(t)=k{e}^{0.5t}$ (mm/s) với $k$ là hằng số dương. Biết rằng trong $2\ln 2$ giây đầu tiên, hạt đi được quãng đường là $20\text{ mm}$. Gọi $B(x_B;y_B;z_B)$ là vị trí của hạt tại thời điểm $t=2$ (giây).

Một quần thể vi khuẩn $(A)$ có số lượng cá thể là $P(t)$ tại thời điểm $t$ phút quan sát được phát hiện thay đổi với tốc độ là $P^{\prime }(t)=a\cdot e^{0,1t}+150e^{-0,03t}$ (vi khuẩn/phút), $(a\in \mathbb{R})$. Biết rằng lúc bắt đầu quan sát, quần thể có $200000$ vi khuẩn và đạt tốc độ tăng trưởng là $350$ vi khuẩn/phút.

Một chuyên gia kinh tế nghiên cứu tốc độ thay đổi lượng điện tiêu thụ của hai khu vực công nghiệp $A$ và $B$ từ đầu năm 2020 đến đầu năm 2024. Tốc độ thay đổi lượng điện tiêu thụ (đơn vị: triệu kWh/năm) của khu vực $A$ và khu vực $B$ lần lượt được mô tả bởi các hàm số: $E_A^{\prime }(t)=2^t+8$ và $E_B^{\prime }(t)=3,75t+n$ ($n$ là một hằng số), trong đó $t$ là số năm kể từ đầu năm 2020 ($0\le t\le 4$). Biết rằng tại thời điểm bắt đầu khảo sát ($t=0$) và đầu năm 2024 ($t=4$), tốc độ thay đổi lượng điện tiêu thụ của cả hai khu vực là bằng nhau (như hình vẽ).

Câu 3. Trên đoạn đường thẳng $AC$ dài $300\text{ m}$, điểm $B$ nằm giữa $A$ và $C$, biết $BC=250\text{ m}$. Chọn chiều dương hướng từ $A$ đến $C$, gốc tọa độ là $A$. Lấy $t=0$ là thời điểm chất điểm $M$ xuất phát từ $A$. Chất điểm $M$ chuyển động thẳng về phía $C$ với tốc độ $v_1(t)={\mathrm{e}}^{\frac{t}{10}+a}\text{ (m/s)}$ ($a$ là tham số). Tại thời điểm $t=4$ giây, chất điểm $N$ bắt đầu chuyển động từ $B$ về phía $C$ với tốc độ $v_2(t)=b(t-4)+\frac{6}{5}\text{ (m/s)},t\ge 4$ ($b$ là tham số). Biết rằng trong quá trình chuyển động, chất điểm $N$ luôn nằm bên phải chất điểm $M$. Tại thời điểm $t=4$ giây, khoảng cách giữa hai chất điểm là $90-40{\mathrm{e}}^{\frac{2}{5}}\text{ m}$; tại thời điểm $t=6$ giây, khoảng cách giữa hai chất điểm là $\frac{482}{5}-40{\mathrm{e}}^{\frac{3}{5}}\text{ m}$. Hỏi trong khoảng thời gian từ $t=6$ đến $t=18$ giây, khoảng cách gần nhất giữa hai chất điểm bằng bao nhiêu mét? Làm tròn kết quả đến hàng phần mười.

Một vật chuyển động với vận tốc ban đầu là $12\text{ m/s}$ thì bắt đầu tăng tốc với gia tốc $a(t)=t^2+4t{\text{ (m/s}}^2\text{)}$.

Trong một trò chơi điện tử, hai bạn Tít và Mít thi xem ai chạy được quãng đường xa hơn. Tít chạy với vận tốc $v_T(t)=5\sqrt{t}\text{ (km/h)}$, quãng đường Mít chạy được cho bởi phương trình $s_M(t)=5t-\frac{5}{2\pi }\sin (2\pi t)\text{ (km)}$ (với $t$ là thời gian tính theo giờ). Nếu cuộc đua kết thúc khi Tít hoặc Mít chạy được $10\text{ km}$ đầu tiên thì khoảng cách giữa hai bạn là bao nhiêu kilômét? (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)