Biết $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)=\frac{x^2-1}{x}$ trên khoảng $(0;+\infty )$.
Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

Câu 4: Để bảo tồn loài chim Sếu đầu đỏ, các nhà khoa học đã thả một số cá thể vào khu sinh thái và theo dõi sự phát triển của chúng. Gọi $y(t)$ (đơn vị: trăm cá thể) là số lượng chim tại thời điểm $t$ năm ($t\ge 0$). Tốc độ tăng trưởng của quần thể chim tỉ lệ thuận với số lượng cá thể hiện có, thỏa mãn phương trình $y^{\prime }(t)=k\cdot y(t)$ ($t\ge 0$, $k$ là hằng số dương). Qua theo dõi, các nhà khoa học ghi nhận:
Tại thời điểm $t=5$ (năm), số lượng chim là 400 cá thể.
Tại thời điểm $t=10$ (năm), số lượng chim là 800 cá thể.
Giả sử $y(t)=e^{g(t)}$ với $t\ge 0$.

Câu 12. Gọi $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)=2x-\frac{1}{x}$ trên $(0;+\infty )$ thỏa mãn $F(1)=1$. Tính $F(e)$.

Gọi $F(x)$ là nguyên hàm trên $\mathbb{R}$ của hàm số $f(x)=x^2{e}^{ax}$ ($a\ne 0$), sao cho $F\left(\frac{1}{a}\right)=F(0)+1$. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.

Cho hàm số $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)=\frac{2\cos x-1}{{\sin }^{2}x}$ trên khoảng $(0;\pi )$. Biết rằng giá trị lớn nhất của $F(x)$ trên khoảng $(0;\pi )$ là $\sqrt{3}$. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.

Câu 1. Một trung tâm thương mại tăng giá cho thuê mỗi gian hàng $x$ (triệu đồng) ($x\ge 0$). Tốc độ thay đổi doanh thu từ các gian hàng đó được ước lượng bởi hàm số $T^{\prime }(x)=-20x+300$ (đơn vị: triệu đồng) (Nguồn: R.Larson and B. Edwards, Calculus 10e, Cengage). Biết rằng tăng giá thuê mỗi gian hàng $10$ triệu đồng thì doanh thu là $12000$ triệu đồng.

Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm là $f^{\prime }(x)=x{e}^x,\forall x\in \mathbb{R}$ và $f(0)=1$. Biết $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ thỏa mãn $F(2)=5$. Khẳng định nào dưới đây đúng?