Tại một triển lãm, tốc độ thay đổi lượng khách tham dự trong một ngày được biểu diễn bởi hàm số $N^{\prime }(t)=4t^3-30t^2+500t$, trong đó $t$ tính bằng giờ kể từ khi mở cửa $(0\le t\le 10)$, $N^{\prime }(t)$ tính bằng số khách/giờ. Biết giờ mở cửa là lúc 8 giờ sáng và sau khi mở cửa 1 giờ thì có 300 khách tham dự triển lãm, hỏi lúc 12 giờ trưa có bao nhiêu khách tham dự triển lãm?

Tại một nhà máy, gọi $C(x)$ là tổng chi phí (tính theo triệu đồng) để sản xuất $x$ tấn sản phẩm $A$ trong một tháng. Khi đó, đạo hàm $C^{\prime }(x)$, gọi là chi phí cận biên, cho biết tốc độ gia tăng tổng chi phí theo lượng gia tăng sản phẩm được sản xuất. Giả sử chi phí cận biên (tính theo triệu đồng trên tấn) của nhà máy được ước lượng bởi công thức $$C^{\prime }(x)=5-0,06x+0,00072x^2,0\le x\le 150.$$ Biết rằng $C(0)=30$ triệu đồng, gọi là chi phí cố định. Tính tổng chi phí khi nhà máy sản xuất 100 tấn sản phẩm A trong tháng.

Khi nghiên cứu một quần thể vi khuẩn, người ta nhận thấy quần thể vi khuẩn đó ở ngày thứ t có số lượng N(t) con. Biết rằng tốc độ phát triển của quần thể đó là N’(t) $=\frac{8000}{t}$ và sau ngày thứ nhất (t = 1) có 250 000 con. Sau 6 ngày (t = 6), số lượng của quần thể vi khuẩn là bao nhiêu con.

Giả sử lợi nhuận biên (tính bằng triệu đồng) của một sản phẩm được mô hình hóa bằng công thức P'(x) $=-0,0005$x $+12,2$. Ở đây P(x) là lợi nhuận (tính bằng triệu đồng) khi bán được x đơn vị sản phẩm.
a) Tìm sự thay đổi của lợi nhuận khi doanh số tăng từ 100 lên 101 sản phẩm.
b) Tìm sự thay đổi của lợi nhuận khi doanh số tăng từ 100 lên 110 sản phẩm.

Một đất nước tiêu thụ dầu theo tốc độ xác định bởi r(t) = $20.e^{0,2t}$ tỉ thùng mỗi năm, trong đó t là thời gian tính theo năm, $0\le t\le 10$. Trong khoảng 10 năm kể trên, nước đó đã tiêu thụ lượng dầu là

Tốc độ phát triển của một quần thể vi khuẩn được mô hình hóa bởi hàm số $v(t)=-3t^2+30t$ (nghìn con/giờ), với $t$ là thời gian tính bằng giờ $(0\le t\le 10)$. Hỏi sau 10 giờ đầu tiên, số lượng vi khuẩn đã tăng thêm bao nhiêu nghìn con?

Một trung tâm thương mại muốn cho thuê một số gian hàng có mức giá như nhau và có tổng doanh thu trong một tháng là $T(x)$ (triệu đồng). Người chủ muốn tăng giá cho thuê của mỗi gian hàng mỗi tháng thêm $x$ (triệu đồng, $x\ge 0$) thì tốc độ thay đổi doanh thu từ các gian hàng đó được biểu diễn bởi hàm số $T^{\prime }(x)=-20x+300$, (trong đó $T^{\prime }(x)$ tính bằng triệu đồng/tháng). Biết rằng nếu giá thuê tăng mỗi tháng thêm 10 triệu đồng thì tổng doanh thu mỗi tháng là 12000 (triệu đồng). Tìm giá trị của $x$ để doanh thu cao nhất.