Sử dụng 5 màu khác nhau để tô cho 4 ô hình vuông A, B, C, D như hình vẽ bên dưới, mỗi ô vuông chỉ dùng một màu để tô. Hai cách tô màu được gọi là khác nhau nếu nếu xét theo thứ tự A, B, C, D có ít nhất một vị trí của hai cách cho màu khác nhau. Tính xác suất để các ô vuông có chung cạnh được tô bởi các màu khác nhau. (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)

(AI giải đề cho tôi)
Bốn ô A, B (trên) và C, D (dưới) tạo thành chu trình 4 đỉnh với các cặp kề chung cạnh: A-B, A-C, B-D, C-D. Tổng số cách tô: $5^4=625$. Đếm số cách tô để các ô kề nhau khác màu: chọn màu A (5 cách), màu B khác A (4 cách). Với mỗi cặp (A,B): nếu C = A (1 cách) thì D chỉ cần khác A và khác B... D khác A (vì D kề C=A) và khác B (D kề B): 3 cách; nếu C khác A và khác B (3 cách) thì D khác C và khác B: 3 cách. Vậy số cách (C,D): $1\cdot 3+3\cdot 3=12$, tổng $5\cdot 4\cdot 12=240$? Cần kiểm tra lại: khi C = A thì D kề C (khác A) và kề B (khác B) nên D có 3 cách; khi C khác A,B thì D khác C và khác B nên có 3 cách. Tổng $5\cdot 4\cdot (1\cdot 3+3\cdot 3)=5\cdot 4\cdot 12=240$. Kiểm tra bằng công thức chu trình $C_4$ với $k=5$: $(k-1{)}^4+(k-1)=4^4+4=260$. Đếm lại trực tiếp: A: 5, B: 4. Trường hợp C = A: D kề B và kề C=A, nên D khác A và khác B: $5-2=3$ cách. Trường hợp C khác A và khác B: 3 cách, D khác C và khác B: 3 cách. Vậy $5\cdot 4\cdot (3+9)=240$. Mâu thuẫn với công thức? Công thức chu trình: $(k-1{)}^n+(-1{)}^n(k-1)=4^4+4=260$. Đếm lại: với C=A, D phải khác A (kề C) và khác B (kề B): 3 cách — đúng. Với C khác A,B: D khác C, khác B: 3 cách — đúng. Tổng (C,D) = 12, tổng 240. Kiểm tra công thức bằng cách khác: số tô màu $C_4$ với $k$ màu là $k(k-1)(k^2-3k+3)=5\cdot 4\cdot 13=260$. Sai sót ở đâu: khi C = A, D kề B và kề C=A, D chỉ cần khác A và khác B: 3 cách — nhưng D cũng có thể bằng... không, D khác A và khác B là đủ. Khi C khác A và B: D khác C và khác B: 3 cách. Vậy $1\cdot 3+3\cdot 3=12$? Nhưng công thức cho 13. Xét lại: khi C = A, D cần khác A và khác B: $5-2=3$. Khi C khác A, B: D cần khác C và khác B: $5-2=3$. Hmm, nhưng nếu D = A thì sao? D kề C và kề B, không kề A, nên D = A được phép khi C khác A: D chỉ cần khác C và khác B, tức 3 cách gồm cả A. Vậy tổng $5\cdot 4\cdot 12=240$? Đếm lại trường hợp C=A: D khác A và khác B: 3 cách. Tổng 12. Nhưng công thức chuẩn $k(k-1)(k^2-3k+3)=5\cdot 4\cdot 13=260$ là đã biết. Lỗi: khi C = A, D cần khác C (=A) và khác B: 3 cách — đúng. Khi C khác A và B (3 lựa chọn), D khác C và khác B: 3 cách. Vậy 12? Kiểm tra $k=3$: công thức $3\cdot 2\cdot 3=18$. Đếm: A:3,B:2; C=A: D khác A,B: 1; C khác A,B: 0 lựa chọn... với k=3, C khác A và B: 1 lựa chọn (màu thứ 3), D khác C và B: 1. Tổng $3\cdot 2\cdot (1+1)=12\ne 18$. Vậy đếm theo kiểu này thiếu: à, khi C = A, D cần khác A và khác B — nhưng D không kề A! D chỉ kề B và C. Khi C = A, D khác C=A và khác B: 3 cách với k=5. Đúng. Vậy với k=3: C=A: D khác A,B: 1 cách; C = màu thứ 3: D khác C và B: 1 cách. Tổng $3\cdot 2\cdot 2=12$. Nhưng liệt kê trực tiếp k=3 chu trình A-B-D-C-A: số tô = $(3-1{)}^4+(3-1)=18$. Đếm trực tiếp k=3: các chu trình 4 đỉnh cần xen kẽ 2 màu: A=x, B=y≠x, D=z≠y, C≠z và C≠x. Nếu z=x: C≠x: 2 cách. Nếu z=màu thứ 3: C≠z, C≠x: 1 cách. Vậy với mỗi (x,y): $2+1=3$, tổng $3\cdot 2\cdot 3=18$. Lỗi trước: khi C=A (tức z=x, C... ở đây vai trò khác). Áp dụng đúng cho bài toán với k=5: A:5, B:4. D kề B: D≠B. C kề A và kề D. Đếm theo (B,D) thay vì (A,B): B≠A, D≠B. Nếu D=A: C khác A (kề A) và kề D=A: C≠A: 4 cách. Nếu D≠A, D≠B (3 cách): C khác A và khác D: 3 cách. Vậy số cách (D,C): $1\cdot 4+3\cdot 3=13$, tổng $5\cdot 4\cdot 13=260$. Xác suất $P=\frac{260}{625}=0,416\approx 0,42$, tức $42\%$.